Номер 12, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SA$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = AB = 1$ см.

Боковое ребро $l = SA = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.01$ м.

$l = 0.02$ м.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$, обозначим его $d(B, SA)$.

Решение:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $SA$. Рассмотрим треугольник $SAB$, образованный вершиной пирамиды $S$ и двумя смежными вершинами основания $A$ и $B$. Искомое расстояние является высотой $BH$ этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $SA$.

Найдем стороны треугольника $SAB$ из условия задачи:

$AB = 1$ см (сторона основания).

$SA = 2$ см (боковое ребро).

Так как пирамида правильная, все её боковые ребра равны, поэтому $SB = SA = 2$ см.

Таким образом, треугольник $SAB$ — равнобедренный с боковыми сторонами $SA=SB=2$ см и основанием $AB=1$ см.

Для нахождения высоты $BH$ треугольника $SAB$, опущенной на боковую сторону $SA$, воспользуемся теоремой косинусов.

Найдем косинус угла $\angle SAB$ (или $\angle A$) в треугольнике $SAB$ по теореме косинусов:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 - 2 \cdot SA \cdot AB \cdot \cos(\angle SAB)$

Подставим известные длины сторон (вычисления будем производить в сантиметрах):

$2^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\angle SAB)$

$4 = 4 + 1 - 4 \cdot \cos(\angle SAB)$

$0 = 1 - 4 \cdot \cos(\angle SAB)$

$4 \cdot \cos(\angle SAB) = 1$

$\cos(\angle SAB) = \frac{1}{4}$

Теперь найдем синус этого же угла, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

$\sin^2(\angle SAB) = 1 - \cos^2(\angle SAB) = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

Так как $\angle SAB$ — это угол в треугольнике, его синус положителен:

$\sin(\angle SAB) = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, где $H$ — это основание высоты из точки $B$ на прямую $SA$ ($\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенузой является сторона $AB$, а искомая высота $BH$ — катет, противолежащий углу $\angle BAH$ (который совпадает с углом $\angle SAB$).

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle SAB) = \frac{BH}{AB}$

Отсюда выразим искомую высоту $BH$:

$BH = AB \cdot \sin(\angle SAB) = 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ см.

Ответ: Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$ равно $\frac{\sqrt{15}}{4}$ см.