Номер 15, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.

Все ребра равны 1 см.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Введем прямоугольную систему координат с центром в центре нижнего основания призмы, шестиугольника $ABCDEF$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Ox$ направим через вершину $A$. Так как призма правильная, ее основание — правильный шестиугольник. Пусть сторона основания и боковое ребро равны $a=1$ см.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a$ и центром в начале координат, где одна из вершин ($A$) лежит на оси $Ox$, можно вычислить по формулам $x = a \cos \theta$, $y = a \sin \theta$. Углы для вершин $A, B, C, D, E, F$ равны соответственно $0^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ$.

Найдем координаты интересующих нас точек $B$, $F$, $E_1$ при $a=1$ см:

• Точка $B$: $\theta = 60^\circ$. $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Точка $F$: $\theta = 300^\circ$ (или $-60^\circ$). $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Точка $E$: $\theta = 240^\circ$ (или $-120^\circ$). $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Точка $E_1$ получается сдвигом точки $E$ вдоль оси $Oz$ на высоту призмы $a=1$. $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Расстояние от точки до прямой можно найти как высоту треугольника, опущенную из этой точки на сторону, лежащую на данной прямой. Рассмотрим треугольник $BFE_1$. Искомое расстояние — это высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $FE_1$.

Найдем квадраты длин сторон этого треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

1. Квадрат длины стороны $BF$:

$BF^2 = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}))^2 + (0 - 0)^2 = 0^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2 = 3$.

2. Квадрат длины стороны $FE_1$:

$FE_1^2 = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}))^2 + (1 - 0)^2 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2$.

3. Квадрат длины стороны $BE_1$:

$BE_1^2 = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1 - 0)^2 = (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2 = 1 + 3 + 1 = 5$.

Проверим, выполняется ли для треугольника $BFE_1$ теорема Пифагора:

$BF^2 + FE_1^2 = 3 + 2 = 5$.

Так как $BF^2 + FE_1^2 = BE_1^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $BFE_1$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $F$.

Это означает, что сторона $BF$ перпендикулярна стороне $FE_1$. Следовательно, отрезок $BF$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на прямую $FE_1$.

Таким образом, искомое расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$ равно длине катета $BF$.

$d(B, FE_1) = BF = \sqrt{BF^2} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.