Номер 4, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$ см.

Боковое ребро $l = 2$ см.

Найти:

Расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$, обозначим его $h$.

Решение:

Поскольку пирамида $SABCDEF$ является правильной, ее основание $ABCDEF$ — это правильный шестиугольник, а вершина $S$ проецируется в центр этого шестиугольника. Обозначим центр основания буквой $O$.

Расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ (которая является плоскостью основания пирамиды) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на эту плоскость. В правильной пирамиде таким перпендикуляром является ее высота $SO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOA$. Он является прямоугольным, так как высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$ (в частности, прямой $OA$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$:

• $SA$ — гипотенуза, которая является боковым ребром пирамиды. По условию, $SA = 2$ см.

• $SO$ — катет, который является высотой пирамиды $h$. Это искомое расстояние.

• $OA$ — второй катет. Это расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершины, то есть радиус описанной около основания окружности.

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне. Сторона основания по условию равна $a = 1$ см.

Следовательно, $OA = a = 1$ см.

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ найдем катет $SO$:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

Выразим искомую высоту $SO$:

$SO^2 = SA^2 - OA^2$

Подставим числовые значения:

$SO^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$SO = \sqrt{3}$ см.

Таким образом, искомое расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ равно $\sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.