Номер 2, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В правильной треугольной призме $\text{ABCA}_1\text{B}_1\text{C}_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки А до плоскости $\text{BCC}_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.

Длина каждого ребра $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости ($BCC_1$) — $d$.

Решение:

По определению, правильная треугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник. Из условия следует, что все рёбра призмы равны 1 см, т.е. $a = 0.01$ м.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной плоскости. Нам нужно найти расстояние от вершины $A$ до плоскости боковой грани $BCC_1B_1$.

Так как призма является прямой, её боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, плоскость грани ($BCC_1$) перпендикулярна плоскости основания ($ABC$).

Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то перпендикуляр, проведённый из точки одной плоскости к линии их пересечения, является перпендикуляром ко второй плоскости. Линией пересечения плоскостей ($ABC$) и ($BCC_1$) является прямая $BC$.

Проведём в равностороннем треугольнике $ABC$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Тогда $AH \perp BC$. Так как $AH$ лежит в плоскости ($ABC$), то $AH$ будет перпендикуляром ко всей плоскости ($BCC_1$). Таким образом, длина высоты $AH$ и есть искомое расстояние $d$.

Высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим в формулу значение длины ребра $a = 1$ см:

$d = AH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.