Номер 14, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки B до прямой $A_1D_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.

Все ребра равны 1 см. То есть, сторона основания $a = 1$ см, боковое ребро (высота) $h = 1$ см.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим искомое расстояние как $\rho(B, A_1D_1)$.

Рассмотрим треугольник $BA_1D_1$. Искомое расстояние будет являться высотой этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $A_1D_1$.

Найдем длины сторон треугольника $BA_1D_1$ методом координат или геометрически. Воспользуемся геометрическим методом.

1. Найдем длину стороны $A_1D_1$.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$ см. Верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — такой же шестиугольник. Отрезок $A_1D_1$ является большой диагональю этого шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны.

$A_1D_1 = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ см.

2. Найдем длину стороны $BA_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AB$. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, значит $\angle A_1AB = 90^\circ$. Катеты этого треугольника равны: $AB=1$ см (сторона основания) и $AA_1=1$ см (боковое ребро).

По теореме Пифагора:

$BA_1^2 = AB^2 + AA_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$BA_1 = \sqrt{2}$ см.

3. Найдем длину стороны $BD_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $D_1DB$. Боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию, $\angle D_1DB = 90^\circ$. Катет $DD_1 = 1$ см. Второй катет — это диагональ $BD$ основания.

Найдем длину диагонали $BD$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Рассмотрим треугольник $BCD$. $BC=1$ см, $CD=1$ см. Угол правильного шестиугольника $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $BCD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

$BD = \sqrt{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $D_1DB$. По теореме Пифагора:

$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$BD_1 = 2$ см.

4. Найдем площадь треугольника $BA_1D_1$.

Мы нашли длины всех его сторон: $BA_1 = \sqrt{2}$ см, $A_1D_1 = 2$ см, $BD_1 = 2$ см.

Поскольку $A_1D_1 = BD_1 = 2$, треугольник $BA_1D_1$ является равнобедренным с основанием $BA_1$.

Вычислим площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр $s$:

$s = \frac{BA_1 + A_1D_1 + BD_1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 2 + 2}{2} = \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Площадь $S$:

$S = \sqrt{s(s-BA_1)(s-A_1D_1)(s-BD_1)}$

$S = \sqrt{\frac{4+\sqrt{2}}{2} \left(\frac{4+\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}\right) \left(\frac{4+\sqrt{2}}{2} - 2\right) \left(\frac{4+\sqrt{2}}{2} - 2\right)}$

$S = \sqrt{\frac{4+\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4-\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{\frac{4^2 - (\sqrt{2})^2}{4} \cdot \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{16-2}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{14}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см$^2$.

5. Найдем искомое расстояние.

Площадь треугольника также можно выразить через основание $A_1D_1$ и высоту $h_B$, проведенную к этому основанию. Эта высота и есть искомое расстояние $\rho(B, A_1D_1)$.

$S = \frac{1}{2} \cdot A_1D_1 \cdot h_B$

Подставим известные значения:

$\frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h_B$

$\frac{\sqrt{7}}{2} = h_B$

Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$ равно $\frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$ см.