Номер 10, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки B до прямой $AC_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.
Все ребра равны 1 см, то есть $AB = BC = CA = AA_1 = 1$ см.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ см $= 0.01$ м. Для удобства вычислений и наглядности будем использовать сантиметры, так как все данные приведены в этой единице.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, которое обозначим $\rho(B, AC_1)$.

Решение:

Искомое расстояние является длиной перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AC_1$. Рассмотрим треугольник $ABC_1$. Искомое расстояние будет являться высотой этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC_1$. Обозначим эту высоту как $BH$, где $H \in AC_1$.

Для нахождения высоты $BH$ найдем сначала все стороны треугольника $ABC_1$.

1. Сторона $AB$ — это ребро основания призмы. По условию, $AB = 1$ см.

2. Сторона $AC_1$ — это диагональ боковой грани $AA_1C_1C$. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, значит $AA_1 \perp AC$. Поскольку все ребра равны 1, грань $AA_1C_1C$ является квадратом со стороной 1 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$ (или $ACC_1$), по теореме Пифагора: $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
Следовательно, $AC_1 = \sqrt{2}$ см.

3. Сторона $BC_1$ — это диагональ боковой грани $BB_1C_1C$, которая также является квадратом со стороной 1 см. Аналогично, из прямоугольного треугольника $B_1BC$ по теореме Пифагора: $BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
Следовательно, $BC_1 = \sqrt{2}$ см.

Итак, мы имеем треугольник $ABC_1$ со сторонами $AB = 1$, $AC_1 = \sqrt{2}$ и $BC_1 = \sqrt{2}$. Этот треугольник — равнобедренный с основанием $AB$.

Площадь треугольника $S_{ABC_1}$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. С одной стороны, используя сторону $AC_1$ как основание, а искомую высоту $BH$ как высоту: $S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot BH$.

С другой стороны, вычислим площадь, используя основание $AB$. Проведем высоту $C_1M$ к стороне $AB$. В равнобедренном треугольнике $ABC_1$ высота, проведенная к основанию, является и медианой, поэтому $M$ — середина $AB$, и $AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $AMC_1$ по теореме Пифагора найдем высоту $C_1M$: $C_1M^2 = AC_1^2 - AM^2 = (\sqrt{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8-1}{4} = \frac{7}{4}$.
$C_1M = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC_1$: $S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ см$^2$.

Приравняем два полученных выражения для площади: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot BH = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Выразим из этого уравнения искомую высоту $BH$: $BH = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{7}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $BH = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{4}$ см.