Номер 6, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите расстояние от точки $S$ до прямой $BE$.

Дано:

SABCDEF – правильная шестиугольная пирамида

Сторона основания $a = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$ см

Боковое ребро $l = SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$ см

Найти:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BE$, обозначим его $\rho(S, BE)$.

Решение:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BE$ является длиной высоты $SH$, опущенной из вершины $S$ на сторону $BE$ в треугольнике $SBE$.

1. Рассмотрим треугольник $SBE$. Его стороны – это боковые ребра $SB$, $SE$ и диагональ основания $BE$.

По условию, боковые ребра равны 2 см, следовательно, $SB = SE = 2$ см.

2. Найдем длину диагонали $BE$ основания. Основанием пирамиды является правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1 см. Диагональ $BE$ является большой диагональю этого шестиугольника, так как она соединяет две противоположные вершины через центр шестиугольника.

Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны. Пусть $O$ - центр шестиугольника. Тогда $BO$ и $OE$ - это радиусы описанной окружности, которые в правильном шестиугольнике равны его стороне.$BE = BO + OE = a + a = 2a$.

Подставим значение стороны основания $a=1$ см:

$BE = 2 \cdot 1 = 2$ см.

3. Теперь мы знаем все стороны треугольника $SBE$:$SB = 2$ см, $SE = 2$ см, $BE = 2$ см.

Поскольку все стороны треугольника $SBE$ равны, он является равносторонним со стороной 2 см.

4. Искомое расстояние от точки $S$ до прямой $BE$ – это высота равностороннего треугольника $SBE$. Высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $s$ можно найти по формуле:

$h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае сторона $s = 2$ см. Подставим это значение в формулу:

$\rho(S, BE) = h = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: расстояние от точки S до прямой BE равно $\sqrt{3}$ см.