Номер 16, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $DB_1F_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.

Все ребра равны 1 см.

Сторона основания $a = 1$ см.

Боковое ребро (высота призмы) $h = 1$ см.

Найти:

Тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $DB_1F_1$.

Решение:

Угол между плоскостью сечения $DB_1F_1$ и плоскостью основания $ABC$ является двугранным углом. Для его нахождения построим соответствующий ему линейный угол.

1. Найдём линию пересечения плоскостей. Точка $D$ принадлежит обеим плоскостям. Прямая $B_1F_1$, лежащая в плоскости сечения, параллельна плоскости основания $ABC$ (так как основания призмы параллельны). Следовательно, линия пересечения этих двух плоскостей, назовем её $l$, проходит через точку $D$ и параллельна прямой $B_1F_1$. Так как призма прямая, то $B_1F_1 \parallel BF$, следовательно, $l \parallel BF$.

2. Для построения линейного угла найдём плоскость, перпендикулярную линии пересечения $l$. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ — его центр. Большая диагональ $AD$ перпендикулярна хорде $BF$. Так как $l \parallel BF$, то $AD \perp l$. Пусть $M$ — точка пересечения $AD$ и $BF$.

3. Пусть $M_1$ — середина отрезка $B_1F_1$. Так как призма прямая и $M$ — середина $BF$, то $M_1$ является проекцией $M$ на верхнее основание, и отрезок $MM_1$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$, а значит, и прямой $AD$, лежащей в этой плоскости. Таким образом, плоскость, проходящая через точки $A, D, M_1$, перпендикулярна прямой $BF$, а значит, и линии пересечения $l$.

4. Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный линиями пересечения этой перпендикулярной плоскости $(ADM_1)$ с исходными плоскостями.

• Линия пересечения плоскости $(ADM_1)$ с плоскостью основания $ABC$ — это прямая $AD$ (или, что то же самое, прямая $DM$).
• Линия пересечения плоскости $(ADM_1)$ с плоскостью сечения $DB_1F_1$ — это прямая $DM_1$ (поскольку точки $D$ и $M_1$ лежат в обеих плоскостях).

5. Рассмотрим треугольник $M_1DM$. Так как $MM_1$ — перпендикуляр к плоскости основания, то $MM_1 \perp DM$. Следовательно, треугольник $M_1DM$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $M$.

6. Найдём длины катетов этого треугольника.

• Катет $MM_1$ равен высоте призмы, так как $M$ и $M_1$ — середины соответственных хорд в основаниях. Таким образом, $MM_1 = h = 1$ см.
• Катет $DM$ лежит в плоскости основания. Его длина равна сумме длин отрезков $DO$ и $OM$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до вершины равно стороне, поэтому $DO = a = 1$ см. Отрезок $OM$ является высотой (и медианой) в равнобедренном треугольнике $OBF$, где $OB=OF=a=1$ см, а угол $\angle BOF = \angle BOA + \angle AOF = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. В треугольнике $OBM$ угол $\angle BOM = 60^\circ$. Тогда $OM = OB \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см.Таким образом, $DM = DO + OM = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ см.

7. В прямоугольном треугольнике $M_1DM$ тангенс искомого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $MM_1$ к прилежащему катету $DM$:$ \tan(\alpha) = \frac{MM_1}{DM} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $.