Номер 10, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите косинус угла между плоскостями $BA_1 C_1$ и $AB_1 D_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскость $\alpha = (BA_1C_1)$.

Плоскость $\beta = (AB_1D_1)$.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Решение:

Для нахождения угла между плоскостями воспользуемся координатным методом. Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

1. Введем систему координат. Поместим начало координат в вершину $A(0,0,0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AD$, ось $Oy$ вдоль $AB$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Примем длину ребра куба равной 1.

2. Определим координаты необходимых вершин куба:

$A(0, 0, 0)$

$B(0, 1, 0)$

$A_1(0, 0, 1)$

$B_1(0, 1, 1)$

$C_1(1, 1, 1)$

$D_1(1, 0, 1)$

3. Найдем вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $(BA_1C_1)$. Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC_1}$.

$\vec{BA_1} = \{A_1_x - B_x; A_1_y - B_y; A_1_z - B_z\} = \{0-0; 0-1; 1-0\} = \{0; -1; 1\}$.

$\vec{BC_1} = \{C_1_x - B_x; C_1_y - B_y; C_1_z - B_z\} = \{1-0; 1-1; 1-0\} = \{1; 0; 1\}$.

Вектор нормали $\vec{n_1}$ перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n_1} = \vec{BA_1} \times \vec{BC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) = -1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k}$.

Таким образом, $\vec{n_1} = \{-1; 1; 1\}$.

4. Аналогично найдем вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $(AB_1D_1)$. Найдем векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$, лежащие в этой плоскости.

$\vec{AB_1} = \{B_1_x - A_x; B_1_y - A_y; B_1_z - A_z\} = \{0-0; 1-0; 1-0\} = \{0; 1; 1\}$.

$\vec{AD_1} = \{D_1_x - A_x; D_1_y - A_y; D_1_z - A_z\} = \{1-0; 0-0; 1-0\} = \{1; 0; 1\}$.

Найдем векторное произведение:

$\vec{n_2} = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k}$.

Таким образом, $\vec{n_2} = \{1; 1; -1\}$.

5. Косинус угла $\phi$ между плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = -1 + 1 - 1 = -1$.

Найдем длины (модули) векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Теперь можем вычислить косинус угла:

$\cos \phi = \frac{|-1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.