Номер 13, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями $SBC$ и $SCD$.

14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны осно-

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м.

Найти:

$\cos(\alpha)$ - косинус двугранного угла, образованного гранями SBC и SCD.

Решение:

Поскольку пирамида SABCD является правильной и все ее ребра равны 1 см, ее основание ABCD представляет собой квадрат со стороной 1 см, а боковые грани, в том числе SBC и SCD, являются равносторонними треугольниками со стороной 1 см.

Двугранный угол между гранями SBC и SCD измеряется линейным углом. Для его построения проведем из одной точки на общем ребре SC перпендикуляры в каждой из граней.

В равностороннем треугольнике SBC проведем высоту BH к стороне SC. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=1$ см, поэтому:

$BH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Аналогично, в равностороннем треугольнике SCD проведем высоту DH к стороне SC. Так как треугольник SCD равен треугольнику SBC, высота DH будет иметь такую же длину и будет проведена к той же точке H на ребре SC.

$DH = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Угол $\angle BHD$ является линейным углом искомого двугранного угла. Для нахождения его косинуса рассмотрим треугольник BHD.

Нам известны две стороны этого треугольника: $BH = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см и $DH = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Найдем третью сторону BD. BD является диагональю квадрата ABCD в основании пирамиды. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BCD:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$BD = \sqrt{2}$ см.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику BHD:

$BD^2 = BH^2 + DH^2 - 2 \cdot BH \cdot DH \cdot \cos(\angle BHD)$

Подставим известные значения в формулу:

$(\sqrt{2})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle BHD)$

$2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(\angle BHD)$

$2 = \frac{6}{4} - \frac{6}{4} \cdot \cos(\angle BHD)$

$2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\angle BHD)$

Выразим из уравнения $\cos(\angle BHD)$:

$\frac{3}{2} \cos(\angle BHD) = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3 - 4}{2} = -\frac{1}{2}$

$\cos(\angle BHD) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.