Номер 14, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите косинус угла между плоскостями $SBC$ и $SEF$.

Дано:

SABCDEF - правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания $a = 1$ см
Боковое ребро $L = 2$ см

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$L = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Косинус угла между плоскостями $SBC$ и $SEF$.

Решение:

Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол. Он измеряется линейным углом, то есть углом между двумя лучами, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения из одной точки на этой линии.

Основание пирамиды $ABCDEF$ — правильный шестиугольник. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны, следовательно, $BC \parallel EF$.

Плоскости $(SBC)$ и $(SEF)$ проходят через общую вершину $S$ и содержат параллельные прямые $BC$ и $EF$. Следовательно, линия пересечения этих плоскостей — это прямая $l$, которая проходит через точку $S$ и параллельна прямым $BC$ и $EF$.

Для построения линейного угла двугранного угла проведем в каждой грани перпендикуляры к линии пересечения $l$.

Рассмотрим боковую грань $SBC$. Это равнобедренный треугольник, так как боковые ребра равны: $SB = SC = 2$ см. Проведем в нем высоту из вершины $S$ к основанию $BC$, назовем ее $SM$, где $M$ — середина отрезка $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой. Так как $SM \perp BC$ и $BC \parallel l$, то $SM \perp l$. $SM$ — это апофема боковой грани.

Аналогично, грань $SEF$ является равнобедренным треугольником ($SE=SF=2$ см). Проведем в нем высоту $SN$, где $N$ — середина отрезка $EF$. Так как $SN \perp EF$ и $EF \parallel l$, то $SN \perp l$.

Таким образом, угол $\angle MSN$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(SBC)$ и $(SEF)$. Найдем косинус этого угла.

Рассмотрим треугольник $MSN$. Для нахождения косинуса угла $\angle MSN$ по теореме косинусов нам нужно знать длины всех трех его сторон: $SM$, $SN$ и $MN$.

1. Найдем длину апофемы боковой грани $SM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SMB$. Гипотенуза $SB = L = 2$ см. Катет $BM$ равен половине стороны основания: $BM = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2}$ см. По теореме Пифагора:
$SM^2 = SB^2 - BM^2 = 2^2 - (\frac{1}{2})^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$
$SM = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ см.

Грани $SBC$ и $SEF$ равны, так как они являются равнобедренными треугольниками с равными сторонами, поэтому их апофемы также равны: $SN = SM = \frac{\sqrt{15}}{2}$ см.

2. Найдем длину отрезка $MN$. Точки $M$ и $N$ — середины противоположных сторон $BC$ и $EF$ правильного шестиугольника. Расстояние между серединами противоположных сторон правильного шестиугольника равно удвоенной апофеме основания. Апофема $OM$ (где $O$ — центр шестиугольника) находится из прямоугольного треугольника $OMB$, но проще воспользоваться формулой для апофемы правильного шестиугольника со стороной $a$: $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$OM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
Точки $M, O, N$ лежат на одной прямой, поэтому $MN = OM + ON = 2 \cdot OM = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

3. Теперь у нас есть треугольник $MSN$ со сторонами $SM = \frac{\sqrt{15}}{2}$, $SN = \frac{\sqrt{15}}{2}$ и $MN = \sqrt{3}$. Применим к нему теорему косинусов, чтобы найти $\cos(\angle MSN)$:
$MN^2 = SM^2 + SN^2 - 2 \cdot SM \cdot SN \cdot \cos(\angle MSN)$
$(\sqrt{3})^2 = (\frac{\sqrt{15}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{15}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \cos(\angle MSN)$
$3 = \frac{15}{4} + \frac{15}{4} - 2 \cdot \frac{15}{4} \cdot \cos(\angle MSN)$
$3 = \frac{30}{4} - \frac{15}{2} \cdot \cos(\angle MSN)$
$3 = \frac{15}{2} - \frac{15}{2} \cdot \cos(\angle MSN)$
$\frac{15}{2} \cdot \cos(\angle MSN) = \frac{15}{2} - 3$
$\frac{15}{2} \cdot \cos(\angle MSN) = \frac{15 - 6}{2} = \frac{9}{2}$
$\cos(\angle MSN) = \frac{9/2}{15/2} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.