Страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной треугольной призме $\text{ABCA}_1\text{B}_1\text{C}_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите тангенс угла между плоскостями $\text{ABC}$ и $\text{CA}_1\text{B}_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все ребра которой равны 1 см.

Сторона основания $a = 1$ см.

Высота призмы $H = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 1$ см $= 0.01$ м.

$H = 1$ см $= 0.01$ м.

Найти:

Тангенс угла $\alpha$ между плоскостями $(ABC)$ и $(CA_1B_1)$.

Решение:

Угол между двумя плоскостями равен углу между двумя перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения в одной точке, причем по одному перпендикуляру в каждой плоскости. Этот угол называется линейным углом двугранного угла.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(CA_1B_1)$.Плоскость $(ABC)$ является плоскостью нижнего основания призмы, а плоскость $(CA_1B_1)$ проходит через вершину $C$ нижнего основания и ребро $A_1B_1$ верхнего основания.Поскольку призма правильная, ее основания параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$. Это означает, что прямая $AB$, лежащая в плоскости $(ABC)$, параллельна прямой $A_1B_1$, лежащей в плоскости $(A_1B_1C_1)$.Плоскость $(CA_1B_1)$ пересекает параллельные плоскости $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$. Линия пересечения с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ — это прямая $A_1B_1$. Следовательно, линия пересечения с плоскостью $(ABC)$ должна быть параллельна $A_1B_1$. Точка $C$ принадлежит обеим искомым плоскостям, значит, линия их пересечения проходит через точку $C$ и параллельна $A_1B_1$ (а также $AB$). Обозначим эту линию пересечения как $l$.

2. Построим линейный угол двугранного угла.В основании призмы лежит равносторонний треугольник $ABC$. Проведем в этом треугольнике высоту (которая также является медианой) $CM$ к стороне $AB$. Так как $CM \perp AB$, а $l \parallel AB$, то $CM \perp l$. Отрезок $CM$ лежит в плоскости $(ABC)$.

Рассмотрим треугольник $CA_1B_1$. Так как призма правильная, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. В прямоугольном треугольнике $\triangle CC_1A_1$ (с прямым углом $\angle C C_1 A_1$) по теореме Пифагора $CA_1^2 = CC_1^2 + C_1A_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Аналогично, $CB_1^2 = 2$. Таким образом, $CA_1 = CB_1 = \sqrt{2}$. Треугольник $CA_1B_1$ является равнобедренным с основанием $A_1B_1 = 1$. Проведем в нем медиану $CM_1$ к основанию $A_1B_1$, где $M_1$ — середина $A_1B_1$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также и высотой, следовательно, $CM_1 \perp A_1B_1$. Так как $l \parallel A_1B_1$, то $CM_1 \perp l$. Отрезок $CM_1$ лежит в плоскости $(CA_1B_1)$.

Итак, линейный угол $\alpha$ между плоскостями $(ABC)$ и $(CA_1B_1)$ равен углу между построенными перпендикулярами $CM$ и $CM_1$. Таким образом, $\alpha = \angle MCM_1$.

3. Найдем тангенс угла $\angle MCM_1$.Рассмотрим треугольник $MCM_1$. Точка $M$ — середина ребра $AB$, а $M_1$ — середина ребра $A_1B_1$. Отрезок $MM_1$ соединяет середины оснований и параллелен боковому ребру $CC_1$. Так как боковые ребра правильной призмы перпендикулярны основанию, то $MM_1 \perp (ABC)$, и, следовательно, $MM_1 \perp CM$. Это означает, что треугольник $MCM_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $M$.

Поскольку искомая величина (тангенс угла) является безразмерной, для удобства вычислений будем использовать заданные длины ребер в сантиметрах.

Катет $MM_1$ равен высоте призмы: $MM_1 = H = 1$ см.

Катет $CM$ является высотой равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a=1$ см. Длина высоты вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.$CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\angle MCM_1$:$\tan \alpha = \tan(\angle MCM_1) = \frac{MM_1}{CM} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите косинус угла между плоскостями $SAD$ и $SBC$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида

Ребро $a = 1$ см (все ребра равны)

Найти:

$\cos \alpha$ — косинус угла между плоскостями (SAD) и (SBC).

Решение:

Поскольку пирамида SABCD является правильной четырехугольной, ее основание ABCD — квадрат. В условии сказано, что все ребра пирамиды равны 1 см. Это означает, что и стороны основания (AB, BC, CD, DA), и боковые ребра (SA, SB, SC, SD) равны 1 см.

Из этого следует, что боковые грани пирамиды (SAB, SBC, SCD, SAD) являются равносторонними треугольниками со стороной 1 см.

Угол между двумя плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Чтобы его построить, нужно найти линию пересечения плоскостей и провести к ней перпендикуляры в каждой из плоскостей из одной точки.

Плоскости (SAD) и (SBC) проходят через параллельные прямые AD и BC (так как ABCD — квадрат). Следовательно, линия пересечения этих плоскостей будет проходить через их общую точку S и будет параллельна прямым AD и BC.

Проведем апофемы в гранях SAD и SBC из вершины S. Пусть K — середина ребра AD, а L — середина ребра BC.

В равностороннем треугольнике SAD отрезок SK является медианой, а следовательно, и высотой. Таким образом, $SK \perp AD$. Поскольку линия пересечения плоскостей параллельна AD, то $SK$ перпендикулярен и линии пересечения.

Аналогично, в равностороннем треугольнике SBC отрезок SL является медианой и высотой, то есть $SL \perp BC$. Следовательно, $SL$ также перпендикулярен линии пересечения.

Значит, искомый угол $\alpha$ между плоскостями (SAD) и (SBC) равен углу $\angle KSL$ между апофемами SK и SL.

Рассмотрим треугольник KSL. Найдем длины его сторон:

1. SK и SL — это высоты равносторонних треугольников со стороной $a=1$ см. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$SK = SL = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

2. KL — это отрезок, соединяющий середины противоположных сторон квадрата ABCD. Его длина равна стороне квадрата.
$KL = AB = 1$ см.

Теперь мы имеем равнобедренный треугольник KSL со сторонами $SK = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см, $SL = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см и $KL = 1$ см. Чтобы найти косинус угла $\angle KSL$, воспользуемся теоремой косинусов:

$KL^2 = SK^2 + SL^2 - 2 \cdot SK \cdot SL \cdot \cos(\angle KSL)$

Подставим известные значения:

$1^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle KSL)$

$1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(\angle KSL)$

$1 = \frac{6}{4} - \frac{6}{4} \cdot \cos(\angle KSL)$

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle KSL)$

Перенесем слагаемые:

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle KSL) = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle KSL) = \frac{1}{2}$

$\cos(\angle KSL) = \frac{1}{2} \div \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

13. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями $SBC$ и $SCD$.

14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны осно-

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м.

Найти:

$\cos(\alpha)$ - косинус двугранного угла, образованного гранями SBC и SCD.

Решение:

Поскольку пирамида SABCD является правильной и все ее ребра равны 1 см, ее основание ABCD представляет собой квадрат со стороной 1 см, а боковые грани, в том числе SBC и SCD, являются равносторонними треугольниками со стороной 1 см.

Двугранный угол между гранями SBC и SCD измеряется линейным углом. Для его построения проведем из одной точки на общем ребре SC перпендикуляры в каждой из граней.

В равностороннем треугольнике SBC проведем высоту BH к стороне SC. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=1$ см, поэтому:

$BH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Аналогично, в равностороннем треугольнике SCD проведем высоту DH к стороне SC. Так как треугольник SCD равен треугольнику SBC, высота DH будет иметь такую же длину и будет проведена к той же точке H на ребре SC.

$DH = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Угол $\angle BHD$ является линейным углом искомого двугранного угла. Для нахождения его косинуса рассмотрим треугольник BHD.

Нам известны две стороны этого треугольника: $BH = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см и $DH = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Найдем третью сторону BD. BD является диагональю квадрата ABCD в основании пирамиды. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BCD:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$BD = \sqrt{2}$ см.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику BHD:

$BD^2 = BH^2 + DH^2 - 2 \cdot BH \cdot DH \cdot \cos(\angle BHD)$

Подставим известные значения в формулу:

$(\sqrt{2})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle BHD)$

$2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(\angle BHD)$

$2 = \frac{6}{4} - \frac{6}{4} \cdot \cos(\angle BHD)$

$2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\angle BHD)$

Выразим из уравнения $\cos(\angle BHD)$:

$\frac{3}{2} \cos(\angle BHD) = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3 - 4}{2} = -\frac{1}{2}$

$\cos(\angle BHD) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите косинус угла между плоскостями $SBC$ и $SEF$.

Дано:

SABCDEF - правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания $a = 1$ см
Боковое ребро $L = 2$ см

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$L = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Косинус угла между плоскостями $SBC$ и $SEF$.

Решение:

Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол. Он измеряется линейным углом, то есть углом между двумя лучами, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения из одной точки на этой линии.

Основание пирамиды $ABCDEF$ — правильный шестиугольник. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны, следовательно, $BC \parallel EF$.

Плоскости $(SBC)$ и $(SEF)$ проходят через общую вершину $S$ и содержат параллельные прямые $BC$ и $EF$. Следовательно, линия пересечения этих плоскостей — это прямая $l$, которая проходит через точку $S$ и параллельна прямым $BC$ и $EF$.

Для построения линейного угла двугранного угла проведем в каждой грани перпендикуляры к линии пересечения $l$.

Рассмотрим боковую грань $SBC$. Это равнобедренный треугольник, так как боковые ребра равны: $SB = SC = 2$ см. Проведем в нем высоту из вершины $S$ к основанию $BC$, назовем ее $SM$, где $M$ — середина отрезка $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой. Так как $SM \perp BC$ и $BC \parallel l$, то $SM \perp l$. $SM$ — это апофема боковой грани.

Аналогично, грань $SEF$ является равнобедренным треугольником ($SE=SF=2$ см). Проведем в нем высоту $SN$, где $N$ — середина отрезка $EF$. Так как $SN \perp EF$ и $EF \parallel l$, то $SN \perp l$.

Таким образом, угол $\angle MSN$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(SBC)$ и $(SEF)$. Найдем косинус этого угла.

Рассмотрим треугольник $MSN$. Для нахождения косинуса угла $\angle MSN$ по теореме косинусов нам нужно знать длины всех трех его сторон: $SM$, $SN$ и $MN$.

1. Найдем длину апофемы боковой грани $SM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SMB$. Гипотенуза $SB = L = 2$ см. Катет $BM$ равен половине стороны основания: $BM = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2}$ см. По теореме Пифагора:
$SM^2 = SB^2 - BM^2 = 2^2 - (\frac{1}{2})^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$
$SM = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ см.

Грани $SBC$ и $SEF$ равны, так как они являются равнобедренными треугольниками с равными сторонами, поэтому их апофемы также равны: $SN = SM = \frac{\sqrt{15}}{2}$ см.

2. Найдем длину отрезка $MN$. Точки $M$ и $N$ — середины противоположных сторон $BC$ и $EF$ правильного шестиугольника. Расстояние между серединами противоположных сторон правильного шестиугольника равно удвоенной апофеме основания. Апофема $OM$ (где $O$ — центр шестиугольника) находится из прямоугольного треугольника $OMB$, но проще воспользоваться формулой для апофемы правильного шестиугольника со стороной $a$: $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$OM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
Точки $M, O, N$ лежат на одной прямой, поэтому $MN = OM + ON = 2 \cdot OM = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

3. Теперь у нас есть треугольник $MSN$ со сторонами $SM = \frac{\sqrt{15}}{2}$, $SN = \frac{\sqrt{15}}{2}$ и $MN = \sqrt{3}$. Применим к нему теорему косинусов, чтобы найти $\cos(\angle MSN)$:
$MN^2 = SM^2 + SN^2 - 2 \cdot SM \cdot SN \cdot \cos(\angle MSN)$
$(\sqrt{3})^2 = (\frac{\sqrt{15}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{15}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \cos(\angle MSN)$
$3 = \frac{15}{4} + \frac{15}{4} - 2 \cdot \frac{15}{4} \cdot \cos(\angle MSN)$
$3 = \frac{30}{4} - \frac{15}{2} \cdot \cos(\angle MSN)$
$3 = \frac{15}{2} - \frac{15}{2} \cdot \cos(\angle MSN)$
$\frac{15}{2} \cdot \cos(\angle MSN) = \frac{15}{2} - 3$
$\frac{15}{2} \cdot \cos(\angle MSN) = \frac{15 - 6}{2} = \frac{9}{2}$
$\cos(\angle MSN) = \frac{9/2}{15/2} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

15. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$ см, а боковые ребра равны $2$ см, найдите косинус угла между плоскостями $SAF$ и $SBC$.

Дано:

SABCDEF – правильная шестиугольная пирамида.
Стороны основания $a = 1$ см.
Боковые ребра $l = 2$ см.

Поскольку косинус угла является безразмерной величиной, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Косинус угла между плоскостями (SAF) и (SBC).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим центр основания пирамиды (центр правильного шестиугольника) в начало координат $O(0,0,0)$. Основание пирамиды будет лежать в плоскости $xy$, а вершина $S$ — на оси $z$.

1. Найдем высоту пирамиды и координаты вершины S.
В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Радиус описанной около него окружности равен стороне шестиугольника: $R = a = 1$ см. Высоту пирамиды $h = SO$ найдем из прямоугольного треугольника $SOA$ (где $OA$ — радиус описанной окружности, $SA$ — боковое ребро):
$h = SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$ см.
Таким образом, координаты вершины $S(0, 0, \sqrt{3})$.

2. Найдем координаты вершин основания A, F, B, C.
Расположим вершину $A$ на положительной части оси $x$. Тогда ее координаты $A(1, 0, 0)$.
Остальные вершины получаются поворотом на угол, кратный $60^\circ$ вокруг оси $z$.
Координаты вершины $F$ (поворот на $-60^\circ$ или $300^\circ$):
$x_F = R \cos(-60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$y_F = R \sin(-60^\circ) = 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Координаты вершины $B$ (поворот на $60^\circ$):
$x_B = R \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$y_B = R \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Координаты вершины $C$ (поворот на $120^\circ$):
$x_C = R \cos(120^\circ) = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$
$y_C = R \sin(120^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

3. Найдем векторы нормалей к плоскостям (SAF) и (SBC).
Вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости (SAF) можно найти как векторное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{SF}$.
$\vec{SA} = A - S = (1-0, 0-0, 0-\sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$.
$\vec{SF} = F - S = (\frac{1}{2}-0, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-\sqrt{3}) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$.
$\vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{SF} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -\sqrt{3} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \end{vmatrix} = (0 \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}))\mathbf{i} - (1 \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2})\mathbf{j} + (1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot \frac{1}{2})\mathbf{k} = -\frac{3}{2}\mathbf{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{j} - \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{k}$.
$\vec{n_1} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости (SBC) найдем как векторное произведение векторов $\vec{SB}$ и $\vec{SC}$.
$\vec{SB} = B - S = (\frac{1}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-\sqrt{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$.
$\vec{SC} = C - S = (-\frac{1}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-\sqrt{3}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$.
$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \end{vmatrix} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\mathbf{i} - (\frac{1}{2} \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{1}{2}))\mathbf{j} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}))\mathbf{k} = 0\mathbf{i} + \sqrt{3}\mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{k}$.
$\vec{n_2} = (0, \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

4. Найдем косинус угла между плоскостями.
Косинус угла $\varphi$ между плоскостями равен модулю косинуса угла между их векторами нормалей:
$\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-\frac{3}{2}) \cdot 0 + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3} + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.
Найдем модули векторов:
$||\vec{n_1}|| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.
$||\vec{n_2}|| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{3 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12+3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.
Теперь вычислим косинус угла:
$\cos \varphi = \frac{|\frac{3}{4}|}{\frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{15}{4}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $1/5$.

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $DB_1F_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.

Все ребра равны 1 см.

Сторона основания $a = 1$ см.

Боковое ребро (высота призмы) $h = 1$ см.

Найти:

Тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $DB_1F_1$.

Решение:

Угол между плоскостью сечения $DB_1F_1$ и плоскостью основания $ABC$ является двугранным углом. Для его нахождения построим соответствующий ему линейный угол.

1. Найдём линию пересечения плоскостей. Точка $D$ принадлежит обеим плоскостям. Прямая $B_1F_1$, лежащая в плоскости сечения, параллельна плоскости основания $ABC$ (так как основания призмы параллельны). Следовательно, линия пересечения этих двух плоскостей, назовем её $l$, проходит через точку $D$ и параллельна прямой $B_1F_1$. Так как призма прямая, то $B_1F_1 \parallel BF$, следовательно, $l \parallel BF$.

2. Для построения линейного угла найдём плоскость, перпендикулярную линии пересечения $l$. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ — его центр. Большая диагональ $AD$ перпендикулярна хорде $BF$. Так как $l \parallel BF$, то $AD \perp l$. Пусть $M$ — точка пересечения $AD$ и $BF$.

3. Пусть $M_1$ — середина отрезка $B_1F_1$. Так как призма прямая и $M$ — середина $BF$, то $M_1$ является проекцией $M$ на верхнее основание, и отрезок $MM_1$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$, а значит, и прямой $AD$, лежащей в этой плоскости. Таким образом, плоскость, проходящая через точки $A, D, M_1$, перпендикулярна прямой $BF$, а значит, и линии пересечения $l$.

4. Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный линиями пересечения этой перпендикулярной плоскости $(ADM_1)$ с исходными плоскостями.

• Линия пересечения плоскости $(ADM_1)$ с плоскостью основания $ABC$ — это прямая $AD$ (или, что то же самое, прямая $DM$).
• Линия пересечения плоскости $(ADM_1)$ с плоскостью сечения $DB_1F_1$ — это прямая $DM_1$ (поскольку точки $D$ и $M_1$ лежат в обеих плоскостях).

5. Рассмотрим треугольник $M_1DM$. Так как $MM_1$ — перпендикуляр к плоскости основания, то $MM_1 \perp DM$. Следовательно, треугольник $M_1DM$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $M$.

6. Найдём длины катетов этого треугольника.

• Катет $MM_1$ равен высоте призмы, так как $M$ и $M_1$ — середины соответственных хорд в основаниях. Таким образом, $MM_1 = h = 1$ см.
• Катет $DM$ лежит в плоскости основания. Его длина равна сумме длин отрезков $DO$ и $OM$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до вершины равно стороне, поэтому $DO = a = 1$ см. Отрезок $OM$ является высотой (и медианой) в равнобедренном треугольнике $OBF$, где $OB=OF=a=1$ см, а угол $\angle BOF = \angle BOA + \angle AOF = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. В треугольнике $OBM$ угол $\angle BOM = 60^\circ$. Тогда $OM = OB \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см.Таким образом, $DM = DO + OM = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ см.

7. В прямоугольном треугольнике $M_1DM$ тангенс искомого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $MM_1$ к прилежащему катету $DM$:$ \tan(\alpha) = \frac{MM_1}{DM} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $.

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный.
Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$, обозначим его $d(B, AD_1)$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой по определению — это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой. Следовательно, нам необходимо найти длину перпендикуляра из точки $B$ на прямую $AD_1$.

Рассмотрим взаимное расположение прямой $AB$ и плоскости грани $ADD_1A_1$.

Поскольку $ABCD$ является квадратом (основание куба), ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AD$. То есть, $AB \perp AD$.

Поскольку $ABB_1A_1$ является квадратом (боковая грань куба), ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AA_1$. То есть, $AB \perp AA_1$.

Прямые $AD$ и $AA_1$ пересекаются в точке $A$ и задают плоскость грани $(ADD_1)$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Так как $AB \perp AD$ и $AB \perp AA_1$, то прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(ADD_1)$.

Прямая $AD_1$ лежит в плоскости $(ADD_1)$, так как соединяет две точки этой плоскости — $A$ и $D_1$.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна прямой $AD_1$.

Это означает, что отрезок $AB$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на прямую $AD_1$. Его длина и есть искомое расстояние.

По условию задачи куб единичный, следовательно, длина его ребра равна 1.

$d(B, AD_1) = AB = 1$.

Ответ: 1.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $A_1D_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA₁B₁C₁D₁$.
Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A₁D₁$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Давайте рассмотрим треугольник $BA₁D₁$. Искомое расстояние будет высотой этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $A₁D₁$.

Найдем длины сторон треугольника $BA₁D₁$:

1. Сторона $A₁D₁$ является ребром куба, поэтому ее длина равна 1.
$A₁D₁ = 1$.

2. Сторона $BA₁$ является диагональю грани $ABB₁A₁$. Грань $ABB₁A₁$ — это квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABA₁$:
$BA₁ = \sqrt{AB^2 + AA₁^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

3. Сторона $BD₁$ является пространственной диагональю куба. Найдем ее длину из прямоугольного треугольника $BDD₁$. Катет $DD₁$ является ребром куба, $DD₁ = 1$. Катет $BD$ является диагональю основания $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной 1 равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
По теореме Пифагора для треугольника $BDD₁$:
$BD₁ = \sqrt{BD^2 + DD₁^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.

Теперь у нас есть треугольник $BA₁D₁$ со сторонами $1, \sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Проверим, является ли он прямоугольным, с помощью обратной теоремы Пифагора.
Квадраты сторон:
$A₁D₁^2 = 1^2 = 1$
$BA₁^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
$BD₁^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Сумма квадратов двух меньших сторон равна $A₁D₁^2 + BA₁^2 = 1 + 2 = 3$.
Эта сумма равна квадрату третьей, самой большой, стороны: $3 = BD₁^2$.
Так как $A₁D₁^2 + BA₁^2 = BD₁^2$, то треугольник $BA₁D₁$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $A₁$.

В прямоугольном треугольнике $BA₁D₁$ катет $BA₁$ перпендикулярен катету $A₁D₁$. Следовательно, длина отрезка $BA₁$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до прямой $A₁D₁$.

Длина $BA₁$ равна $\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

3. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Все ребра равны 1 см, то есть $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$ см.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC_1$.

Решение:

Искомое расстояние от точки $A$ до прямой $BC_1$ является длиной высоты $AH$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC_1$ в треугольнике $ABC_1$.

Для нахождения этой высоты, сначала определим длины сторон треугольника $ABC_1$.

1. Сторона $AB$ — это ребро основания призмы, по условию ее длина $AB = 1$ см.

2. Сторона $BC_1$ — это диагональ боковой грани $BCC_1B_1$. Так как призма правильная, ее боковые грани — прямоугольники. Поскольку все ребра равны 1 см, грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной 1 см. Длину диагонали $BC_1$ найдем по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:

$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

3. Сторона $AC_1$ — это диагональ боковой грани $ACC_1A_1$, которая также является квадратом со стороной 1 см. Аналогично находим ее длину:

$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Таким образом, треугольник $ABC_1$ является равнобедренным, так как $AC_1 = BC_1 = \sqrt{2}$ см, а его основание $AB = 1$ см.

Найдем площадь треугольника $ABC_1$ двумя способами.

Способ 1: Через высоту к основанию $AB$.

Проведем в треугольнике $ABC_1$ высоту $C_1M$ к стороне $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой, поэтому точка $M$ — середина $AB$.

Чтобы найти длину $C_1M$, рассмотрим прямоугольный треугольник $C_1CM$. Он прямоугольный, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ (по свойству правильной призмы), а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $CM$.

Отрезок $CM$ является высотой (а также медианой и биссектрисой) в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a = 1$ см. Длина высоты в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $C_1CM$ найдем гипотенузу $C_1M$:

$C_1M^2 = CC_1^2 + CM^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

$C_1M = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC_1$:

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ см$^2$.

Способ 2: Через искомую высоту $AH$.

Площадь того же треугольника можно выразить через сторону $BC_1$ и высоту $AH$, опущенную на эту сторону.

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot BC_1 \cdot AH$.

Приравняем выражения для площади, полученные двумя способами:

$\frac{1}{2} \cdot BC_1 \cdot AH = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Подставим известную длину $BC_1 = \sqrt{2}$ и решим уравнение относительно $AH$:

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot AH = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

$AH = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$AH = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$ см.

Ответ: Расстояние от точки A до прямой $BC_1$ равно $\frac{\sqrt{14}}{4}$ см.

4. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки A до прямой $B_1C_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ - правильная треугольная призма.
Длина каждого ребра $a = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Расстояние $d$ от точки $A$ до прямой $B_1C_1$.

Решение:

Искомое расстояние от точки $A$ до прямой $B_1C_1$ является длиной перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $B_1C_1$. Обозначим этот перпендикуляр как $AH$, где точка $H$ лежит на прямой $B_1C_1$. Таким образом, $d = AH$.

Для нахождения длины $AH$ рассмотрим треугольник $AB_1C_1$. Отрезок $AH$ является высотой этого треугольника, проведенной из вершины $A$ к стороне $B_1C_1$. Найдем длины сторон треугольника $AB_1C_1$.

1. Сторона $B_1C_1$ является ребром верхнего основания призмы. По условию, $B_1C_1 = a = 1$ см.

2. Сторона $AB_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Так как призма правильная, ее боковые грани — квадраты. Грань $ABB_1A_1$ — квадрат со стороной $a = 1$ см. Из прямоугольного треугольника $ABB_1$ по теореме Пифагора находим гипотенузу $AB_1$:
$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

3. Аналогично, сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани (квадрата) $ACC_1A_1$:
$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Таким образом, треугольник $AB_1C_1$ является равнобедренным, так как две его стороны равны: $AB_1 = AC_1 = \sqrt{2}$ см. Основанием является сторона $B_1C_1 = 1$ см.

В равнобедренном треугольнике высота $AH$, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $B_1C_1$ пополам.

Длина отрезка $B_1H$ составляет половину длины основания:
$B_1H = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB_1$ (угол $\angle AHB_1 = 90^\circ$). Применим к нему теорему Пифагора: $AH^2 + B_1H^2 = AB_1^2$. Выразим и вычислим катет $AH$:
$AH^2 = AB_1^2 - B_1H^2$
$AH^2 = (\sqrt{2})^2 - (0.5)^2$
$AH^2 = 2 - 0.25 = 1.75$

Представим десятичную дробь $1.75$ в виде обыкновенной: $1.75 = \frac{7}{4}$.
$AH^2 = \frac{7}{4}$

Тогда длина высоты $AH$ равна:
$AH = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $S$ до прямой $AC$.

а.

Дано:
SABCD - правильная четырехугольная пирамида
Длина всех ребер = 1 см

Перевод в СИ:
1 см = 0.01 м

Найти:
Расстояние от точки S до прямой AC - $d(S, AC)$

Решение:

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В данном случае нам нужно найти длину перпендикуляра из вершины S на прямую AC.

Рассмотрим треугольник SAC. Он образован двумя боковыми ребрами SA, SC и диагональю основания AC.По условию, все ребра пирамиды равны 1 см. Значит, боковые ребра $SA = SC = 1$ см. Следовательно, треугольник SAC является равнобедренным с основанием AC.

Основание пирамиды ABCD — это квадрат, так как пирамида правильная. Стороны квадрата равны 1 см. Диагональ AC квадрата можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABC:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$AC = \sqrt{2}$ см.

Искомое расстояние от точки S до прямой AC — это высота SH, опущенная из вершины S на основание AC в равнобедренном треугольнике SAC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что точка H делит основание AC пополам:

$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник SHC (где $\angle SHC = 90^\circ$). Гипотенуза $SC = 1$ см, катет $HC = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см. Найдем второй катет SH по теореме Пифагора:

$SC^2 = SH^2 + HC^2$

Отсюда выразим $SH^2$:

$SH^2 = SC^2 - HC^2$

$SH^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем длину SH:

$SH = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: расстояние от точки S до прямой AC равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

6. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите расстояние от точки $S$ до прямой $BE$.

Дано:

SABCDEF – правильная шестиугольная пирамида

Сторона основания $a = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$ см

Боковое ребро $l = SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$ см

Найти:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BE$, обозначим его $\rho(S, BE)$.

Решение:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BE$ является длиной высоты $SH$, опущенной из вершины $S$ на сторону $BE$ в треугольнике $SBE$.

1. Рассмотрим треугольник $SBE$. Его стороны – это боковые ребра $SB$, $SE$ и диагональ основания $BE$.

По условию, боковые ребра равны 2 см, следовательно, $SB = SE = 2$ см.

2. Найдем длину диагонали $BE$ основания. Основанием пирамиды является правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1 см. Диагональ $BE$ является большой диагональю этого шестиугольника, так как она соединяет две противоположные вершины через центр шестиугольника.

Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны. Пусть $O$ - центр шестиугольника. Тогда $BO$ и $OE$ - это радиусы описанной окружности, которые в правильном шестиугольнике равны его стороне.$BE = BO + OE = a + a = 2a$.

Подставим значение стороны основания $a=1$ см:

$BE = 2 \cdot 1 = 2$ см.

3. Теперь мы знаем все стороны треугольника $SBE$:$SB = 2$ см, $SE = 2$ см, $BE = 2$ см.

Поскольку все стороны треугольника $SBE$ равны, он является равносторонним со стороной 2 см.

4. Искомое расстояние от точки $S$ до прямой $BE$ – это высота равностороннего треугольника $SBE$. Высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $s$ можно найти по формуле:

$h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае сторона $s = 2$ см. Подставим это значение в формулу:

$\rho(S, BE) = h = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: расстояние от точки S до прямой BE равно $\sqrt{3}$ см.

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $F$ до прямой $BB_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная.
Все ребра равны 1 см.

Длина ребра в системе СИ: 1 см = 0.01 м.

Найти:

Расстояние от точки $F$ до прямой $BB_1$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ правильная, она является прямой призмой. Это означает, что её боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.

Согласно определению перпендикулярности прямой к плоскости, прямая $BB_1$ перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости $ABCDEF$ и проходит через точку их пересечения $B$.

Отрезок $FB$ соединяет вершины основания, следовательно, он лежит в плоскости $ABCDEF$. Так как он проходит через точку $B$, то $FB$ перпендикулярен $BB_1$. Таким образом, длина отрезка $FB$ является искомым расстоянием от точки $F$ до прямой $BB_1$.

Найдем длину отрезка $FB$. Данный отрезок является меньшей диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$, сторона которого по условию равна 1 см.

Рассмотрим треугольник $\triangle FAB$. Стороны $FA$ и $AB$ являются сторонами шестиугольника, поэтому $FA = AB = 1$ см. Угол $\angle FAB$ является внутренним углом правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Для правильного шестиугольника ($n=6$):

$\angle FAB = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle FAB$ для нахождения длины стороны $FB$:

$FB^2 = FA^2 + AB^2 - 2 \cdot FA \cdot AB \cdot \cos(\angle FAB)$

Подставим известные значения:

$FB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Учитывая, что $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$FB^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$

Следовательно, длина отрезка $FB$ составляет:

$FB = \sqrt{3}$ см.

Ответ: расстояние от точки $F$ до прямой $BB_1$ равно $\sqrt{3}$ см.

8. В правильной шестиугольной призме ABCDEF $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $F$ до прямой $B_1 C_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер равна $1 \text{ см}$.

Сторона основания $a = 1 \text{ см}$.

Боковое ребро (высота) $h = 1 \text{ см}$.

Найти:

Расстояние от точки $F$ до прямой $B_1C_1$.

Решение:

Расстояние от точки $F$ до прямой $B_1C_1$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $F$ на прямую $B_1C_1$. Этот перпендикуляр является высотой треугольника $FB_1C_1$, проведенной из вершины $F$ к стороне $B_1C_1$. Найдем длины сторон этого треугольника.

1. Сторона $B_1C_1$ является ребром верхнего основания призмы. По условию, длина всех ребер равна 1 см. Следовательно, $B_1C_1 = 1 \text{ см}$.

2. Найдем длину отрезка $FB_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FBB_1$, где $FB$ — проекция $FB_1$ на плоскость нижнего основания, а $BB_1$ — боковое ребро. Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и $FB$. Таким образом, $\angle FBB_1 = 90^\circ$.

Длина $BB_1$ равна высоте призмы, то есть $BB_1 = 1 \text{ см}$.

Длина $FB$ — это короткая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1 \text{ см}$. Длина короткой диагонали правильного шестиугольника вычисляется по формуле $a\sqrt{3}$. Значит, $FB = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ см}$.

По теореме Пифагора для треугольника $FBB_1$:

$FB_1^2 = FB^2 + BB_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

Отсюда $FB_1 = \sqrt{4} = 2 \text{ см}$.

3. Найдем длину отрезка $FC_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FCC_1$, где $FC$ — проекция $FC_1$ на плоскость нижнего основания, а $CC_1$ — боковое ребро. Аналогично предыдущему пункту, $\angle FCC_1 = 90^\circ$.

Длина $CC_1$ равна высоте призмы, то есть $CC_1 = 1 \text{ см}$.

Длина $FC$ — это длинная диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1 \text{ см}$. Длина длинной диагонали равна $2a$. Значит, $FC = 2 \cdot 1 = 2 \text{ см}$.

По теореме Пифагора для треугольника $FCC_1$:

$FC_1^2 = FC^2 + CC_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

Отсюда $FC_1 = \sqrt{5} \text{ см}$.

4. Мы получили треугольник $FB_1C_1$ со сторонами $B_1C_1 = 1$, $FB_1 = 2$ и $FC_1 = \sqrt{5}$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора.

$(B_1C_1)^2 + (FB_1)^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

$(FC_1)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $(B_1C_1)^2 + (FB_1)^2 = (FC_1)^2$, треугольник $FB_1C_1$ является прямоугольным, причем прямой угол находится в вершине $B_1$ (так как он лежит напротив самой длинной стороны $FC_1$).

5. Поскольку $\angle FB_1C_1 = 90^\circ$, отрезок $FB_1$ является перпендикуляром к прямой $B_1C_1$, проведенным из точки $F$. Следовательно, длина этого отрезка и есть искомое расстояние.

Расстояние от точки $F$ до прямой $B_1C_1$ равно длине $FB_1$, то есть $2 \text{ см}$.

Ответ: $2 \text{ см}$.