Страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.19. В конус, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см, вписан шар. Найдите его объем (рис. 28.12).

Рис. 28.12

Дано:

Радиус основания конуса, $R = 1 \text{ см}$

Образующая конуса, $L = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$R = 0.01 \text{ м}$

$L = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем вписанного шара, $V_{шара}$

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ – радиус шара. Для нахождения радиуса вписанного шара рассмотрим осевое сечение конуса. Осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, являющаяся большим кругом шара.

Обозначим осевое сечение конуса как равнобедренный треугольник $SAB$ с вершиной $S$, основанием $AB$ (диаметр основания конуса) и высотой $SP$ (высота конуса). В прямоугольном треугольнике $SPA$, образованном высотой, радиусом основания и образующей, катет $AP$ равен радиусу основания конуса ($R = 1 \text{ см}$), а гипотенуза $SA$ равна образующей ($L = 2 \text{ см}$).

Сначала найдем высоту конуса $H = SP$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $SPA$:

$H = SP = \sqrt{SA^2 - AP^2} = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \text{ см}$.

Центр $O$ вписанного в конус шара лежит на его высоте $SP$. Радиус шара $r$ равен радиусу вписанной в треугольник $SAB$ окружности. Проведем радиус $OK$ к точке касания $K$ на образующей $SA$. Треугольник $SOK$ будет прямоугольным, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Прямоугольные треугольники $\triangle SOK$ и $\triangle SAP$ подобны, так как у них есть общий острый угол $\angle S$ и оба они прямоугольные.

Из подобия треугольников следует соотношение соответствующих сторон:

$\frac{OK}{AP} = \frac{SO}{SA}$

В этой пропорции: $OK = r$ (радиус шара), $AP = R = 1 \text{ см}$, $SA = L = 2 \text{ см}$, а отрезок $SO$ равен разности высоты конуса и радиуса шара, то есть $SO = SP - OP = H - r = \sqrt{3} - r$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{r}{1} = \frac{\sqrt{3} - r}{2}$

Решим полученное уравнение для нахождения $r$:

$2r = \sqrt{3} - r$

$3r = \sqrt{3}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Теперь, зная радиус шара, мы можем вычислить его объем по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{(\sqrt{3})^3}{3^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3\sqrt{3}}{27} = \frac{4\pi\sqrt{3}}{27} \text{ см}^3$.

Ответ: $V = \frac{4\sqrt{3}\pi}{27} \text{ см}^3$.

28.20. Около конуса, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см, описан шар. Найдите его объем (рис. 28.13).

Рис. 28.13

Дано:

Радиус основания конуса $r = 1$ см

Образующая конуса $l = 2$ см

Перевод в систему СИ:

$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем шара $V$.

Решение:

Так как шар описан около конуса, то вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности шара. Для решения задачи рассмотрим осевое сечение этой комбинации тел. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — окружность большого круга. Таким образом, в сечении мы имеем равнобедренный треугольник, вписанный в окружность.

Пусть осевое сечение конуса — это треугольник $SAB$, где $S$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр его основания. Точка $P$ — центр основания. Из условия задачи имеем: радиус основания конуса $AP = r = 1$ см, образующая $SA = l = 2$ см. Высота конуса обозначается как $SP = h$.

1. Найдем высоту конуса $h$. Треугольник $SPA$ является прямоугольным, так как $SP$ — высота, перпендикулярная основанию. Применим теорему Пифагора:

$SP^2 = SA^2 - AP^2$

$h^2 = l^2 - r^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$h = \sqrt{3}$ см.

2. Найдем радиус $R$ описанного шара. Радиус шара — это радиус окружности, описанной около треугольника $SAB$.

Рассмотрим стороны треугольника $SAB$: $SA = 2$ см, $SB = 2$ см (как образующие), $AB = 2 \cdot AP = 2 \cdot 1 = 2$ см. Поскольку все стороны треугольника равны, он является равносторонним со стороной $a = 2$ см.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Альтернативный способ нахождения радиуса:

Для конуса, вписанного в шар, справедлива формула, связывающая образующую конуса $l$, его высоту $h$ и радиус шара $R$: $l^2 = 2Rh$.

Подставим известные значения $l=2$ см и $h=\sqrt{3}$ см:

$2^2 = 2 \cdot R \cdot \sqrt{3}$

$4 = 2\sqrt{3}R$

$R = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

3. Найдем объем шара по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{2^3 \cdot (\sqrt{3})^3}{3^3}\right) = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{27}\right) = \frac{4}{3}\pi \frac{24\sqrt{3}}{27}$

Сокращая, получаем:

$V = \frac{4\pi \cdot 8\sqrt{3}}{27} = \frac{32\pi\sqrt{3}}{27}$ см³.

Ответ: $\frac{32\pi\sqrt{3}}{27}$ см³.

28.21. Найдите объем шара, описанного около октаэдра с ребром 1 см (рис. 28.14).

Рис. 28.14

Дано:

Ребро октаэдра $a = 1 \text{ см}$

Перевод в СИ: $a = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем шара $V$

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, составленный из двух правильных четырехугольных пирамид, соединенных своими основаниями. Все 12 ребер октаэдра равны.Шар называется описанным около октаэдра, если все вершины октаэдра лежат на поверхности шара. Центр описанного шара совпадает с центром симметрии октаэдра.

Радиус $R$ описанного шара равен расстоянию от центра октаэдра до любой его вершины. Рассмотрим сечение октаэдра, проходящее через четыре его вершины и центр. Это сечение представляет собой квадрат, стороны которого являются диагоналями граней октаэдра, а диагонали этого квадрата являются осями, соединяющими противоположные вершины октаэдра. Длина такой диагонали равна диаметру описанного шара ($2R$).

Более простой способ найти радиус — рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали основания ($d/2$), высотой пирамиды (равной радиусу $R$) и боковым ребром (равным $a$). В правильном октаэдре основание пирамид — квадрат со стороной $a$. Диагональ этого квадрата $d = a\sqrt{2}$. Половина диагонали равна $d/2 = a\sqrt{2}/2$. Высота пирамиды также равна $a\sqrt{2}/2$.

Однако самый наглядный способ — разместить октаэдр в системе координат. Пусть центр октаэдра находится в начале координат $O(0, 0, 0)$. Тогда его шесть вершин будут иметь координаты:$A(R, 0, 0)$, $B(-R, 0, 0)$, $C(0, R, 0)$, $D(0, -R, 0)$, $E(0, 0, R)$, $F(0, 0, -R)$, где $R$ — это и есть радиус описанной сферы.

Ребро октаэдра $a$ — это расстояние между любыми двумя соседними вершинами, например, между $A$ и $C$. Найдем это расстояние по формуле:$a = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2}$$a = \sqrt{(0 - R)^2 + (R - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-R)^2 + R^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Мы получили соотношение между ребром октаэдра $a$ и радиусом описанной сферы $R$:$a = R\sqrt{2}$.Отсюда выразим радиус $R$:$R = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

По условию задачи $a = 1 \text{ см}$. Подставим это значение:$R = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ см}$.

Теперь найдем объем шара по формуле:$V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим найденное значение радиуса $R$:$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{(\sqrt{2})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{4}{3}\pi \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Сократив 4, получим:$V = \frac{\pi\sqrt{2}}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: Объем шара равен $\frac{\pi\sqrt{2}}{3} \text{ см}^3$.

28.22. Найдите объем шара, вписанного в октаэдр с ребром 1 см (рис. 28.15).

Рис. 28.15

Дано:

Правильный октаэдр, в который вписан шар.

Длина ребра октаэдра $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем вписанного шара $V_{шара}$.

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ - это радиус шара.

Для нахождения объема необходимо определить радиус $r$ вписанного в октаэдр шара. Радиус шара, вписанного в правильный октаэдр, равен расстоянию от центра октаэдра до центра любой его грани. Для удобства вычисления будем производить в сантиметрах.

Существует несколько способов найти радиус. Один из них - через объемы. Объем правильного октаэдра $V_{окт}$ с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$V_{окт} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

С другой стороны, объем любого многогранника, в который можно вписать сферу, равен одной трети произведения площади его полной поверхности $S_{полн}$ на радиус вписанной сферы $r$:

$V_{окт} = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$

Найдем полную поверхность октаэдра. Октаэдр состоит из 8 граней, каждая из которых — правильный треугольник со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника:

$S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Тогда площадь полной поверхности октаэдра:

$S_{полн} = 8 \cdot S_{грани} = 8 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 2a^2\sqrt{3}$

Теперь приравняем два выражения для объема октаэдра, чтобы найти $r$:

$\frac{a^3\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} (2a^2\sqrt{3}) \cdot r$

Сократим обе части уравнения на $\frac{1}{3}a^2$ (поскольку $a \neq 0$):

$a\sqrt{2} = 2\sqrt{3} \cdot r$

Выразим радиус $r$:

$r = \frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$

Подставим в эту формулу значение длины ребра $a = 1$ см:

$r = \frac{1}{\sqrt{6}}$ см

Теперь, зная радиус, можем вычислить объем вписанного шара:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{1}{(\sqrt{6})^3}$

$(\sqrt{6})^3 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \frac{1}{6\sqrt{6}} = \frac{4\pi}{18\sqrt{6}} = \frac{2\pi}{9\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$V_{шара} = \frac{2\pi \cdot \sqrt{6}}{9\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2\pi\sqrt{6}}{9 \cdot 6} = \frac{2\pi\sqrt{6}}{54} = \frac{\pi\sqrt{6}}{27}$

Таким образом, объем вписанного шара равен $\frac{\pi\sqrt{6}}{27}$ см$^3$.

Ответ: $V_{шара} = \frac{\pi\sqrt{6}}{27}$ см$^3$.

28.23. Через середину радиуса шара проведена плоскость, перпендикулярная этому радиусу (рис. 28.16). Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, отсекаемого от шара этой плоскостью?

Рис. 28.16

Дано:

Шар радиуса $R$.

Плоскость, проходящая через середину радиуса и перпендикулярная ему.

Найти:

Отношение объема шарового сегмента, отсекаемого плоскостью, к объему всего шара: $\frac{V_{сегмента}}{V_{шара}}$

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

$V_{сегмента} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Согласно условию задачи, плоскость проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему. Пусть радиус шара, которому перпендикулярна плоскость, это $OS = R$ (как показано на рисунке 28.16). Точка $Q$ — середина радиуса $OS$.

Расстояние от центра шара $O$ до секущей плоскости равно $OQ = \frac{R}{2}$.

Высота $h$ меньшего шарового сегмента (с вершиной в точке $S$) равна разности между радиусом $R$ и расстоянием от центра до плоскости $OQ$.

$h = OS - OQ = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

Теперь подставим значение высоты $h$ в формулу для объема шарового сегмента:

$V_{сегмента} = \pi (\frac{R}{2})^2 (R - \frac{1}{3} \cdot \frac{R}{2}) = \pi \frac{R^2}{4} (R - \frac{R}{6})$

Выполним вычитание в скобках:

$R - \frac{R}{6} = \frac{6R - R}{6} = \frac{5R}{6}$

Подставим обратно в формулу объема сегмента:

$V_{сегмента} = \pi \frac{R^2}{4} \cdot \frac{5R}{6} = \frac{5\pi R^3}{24}$

Теперь найдем, какую часть объем сегмента составляет от объема всего шара. Для этого разделим объем сегмента на объем шара:

$\frac{V_{сегмента}}{V_{шара}} = \frac{\frac{5\pi R^3}{24}}{\frac{4\pi R^3}{3}}$

Сократим $\pi R^3$ и выполним деление дробей:

$\frac{V_{сегмента}}{V_{шара}} = \frac{5}{24} \div \frac{4}{3} = \frac{5}{24} \cdot \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 3}{24 \cdot 4} = \frac{15}{96}$

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 3:

$\frac{15 \div 3}{96 \div 3} = \frac{5}{32}$

Таким образом, объем шарового сегмента составляет $\frac{5}{32}$ от объема всего шара.

Ответ: $\frac{5}{32}$

28.24. Чему равен объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара — 75 см?

Дано:

Радиус окружности основания шарового сегмента, $r = 60 \text{ см}$

Радиус шара, $R = 75 \text{ см}$

$r = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$
$R = 75 \text{ см} = 0.75 \text{ м}$

Найти:

Объем шарового сегмента, $V$.

Решение:

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $R$ – радиус шара, а $h$ – высота сегмента. Альтернативная формула: $V = \frac{1}{6} \pi h (3r^2 + h^2)$.

Для нахождения высоты сегмента $h$ рассмотрим осевое сечение шара. В сечении мы получим круг радиуса $R$. Радиус шара $R$, радиус основания сегмента $r$ и расстояние $d$ от центра шара до плоскости основания сегмента образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора найдем $d$:

$d^2 = R^2 - r^2$

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{75^2 - 60^2} = \sqrt{(75-60)(75+60)} = \sqrt{15 \cdot 135} = \sqrt{2025} = 45 \text{ см}$.

Плоскость, отсекающая сегмент, делит шар на два сегмента: меньший и больший. Поскольку в условии задачи не уточнено, объем какого из сегментов нужно найти, мы рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Меньший шаровой сегмент

Высота меньшего сегмента $h_1$ равна разности радиуса шара и расстояния $d$:

$h_1 = R - d = 75 - 45 = 30 \text{ см}$.

Теперь вычислим объем этого сегмента, используя первую формулу:

$V_1 = \pi h_1^2 (R - \frac{h_1}{3}) = \pi \cdot 30^2 (75 - \frac{30}{3}) = \pi \cdot 900 (75 - 10) = 900 \cdot 65 \pi = 58500 \pi \text{ см}^3$.

Ответ: объем меньшего шарового сегмента равен $58500 \pi \text{ см}^3$.

Случай 2: Больший шаровой сегмент

Высота большего сегмента $h_2$ равна сумме радиуса шара и расстояния $d$:

$h_2 = R + d = 75 + 45 = 120 \text{ см}$.

Вычислим объем этого сегмента:

$V_2 = \pi h_2^2 (R - \frac{h_2}{3}) = \pi \cdot 120^2 (75 - \frac{120}{3}) = \pi \cdot 14400 (75 - 40) = 14400 \cdot 35 \pi = 504000 \pi \text{ см}^3$.

Ответ: объем большего шарового сегмента равен $504000 \pi \text{ см}^3$.