Номер 28.19, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.19. В конус, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см, вписан шар. Найдите его объем (рис. 28.12).

Рис. 28.12

Дано:

Радиус основания конуса, $R = 1 \text{ см}$

Образующая конуса, $L = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$R = 0.01 \text{ м}$

$L = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем вписанного шара, $V_{шара}$

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ – радиус шара. Для нахождения радиуса вписанного шара рассмотрим осевое сечение конуса. Осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, являющаяся большим кругом шара.

Обозначим осевое сечение конуса как равнобедренный треугольник $SAB$ с вершиной $S$, основанием $AB$ (диаметр основания конуса) и высотой $SP$ (высота конуса). В прямоугольном треугольнике $SPA$, образованном высотой, радиусом основания и образующей, катет $AP$ равен радиусу основания конуса ($R = 1 \text{ см}$), а гипотенуза $SA$ равна образующей ($L = 2 \text{ см}$).

Сначала найдем высоту конуса $H = SP$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $SPA$:

$H = SP = \sqrt{SA^2 - AP^2} = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \text{ см}$.

Центр $O$ вписанного в конус шара лежит на его высоте $SP$. Радиус шара $r$ равен радиусу вписанной в треугольник $SAB$ окружности. Проведем радиус $OK$ к точке касания $K$ на образующей $SA$. Треугольник $SOK$ будет прямоугольным, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Прямоугольные треугольники $\triangle SOK$ и $\triangle SAP$ подобны, так как у них есть общий острый угол $\angle S$ и оба они прямоугольные.

Из подобия треугольников следует соотношение соответствующих сторон:

$\frac{OK}{AP} = \frac{SO}{SA}$

В этой пропорции: $OK = r$ (радиус шара), $AP = R = 1 \text{ см}$, $SA = L = 2 \text{ см}$, а отрезок $SO$ равен разности высоты конуса и радиуса шара, то есть $SO = SP - OP = H - r = \sqrt{3} - r$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{r}{1} = \frac{\sqrt{3} - r}{2}$

Решим полученное уравнение для нахождения $r$:

$2r = \sqrt{3} - r$

$3r = \sqrt{3}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Теперь, зная радиус шара, мы можем вычислить его объем по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{(\sqrt{3})^3}{3^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3\sqrt{3}}{27} = \frac{4\pi\sqrt{3}}{27} \text{ см}^3$.

Ответ: $V = \frac{4\sqrt{3}\pi}{27} \text{ см}^3$.