Номер 28.22, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.22. Найдите объем шара, вписанного в октаэдр с ребром 1 см (рис. 28.15).

Рис. 28.15

Дано:

Правильный октаэдр, в который вписан шар.

Длина ребра октаэдра $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем вписанного шара $V_{шара}$.

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ - это радиус шара.

Для нахождения объема необходимо определить радиус $r$ вписанного в октаэдр шара. Радиус шара, вписанного в правильный октаэдр, равен расстоянию от центра октаэдра до центра любой его грани. Для удобства вычисления будем производить в сантиметрах.

Существует несколько способов найти радиус. Один из них - через объемы. Объем правильного октаэдра $V_{окт}$ с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$V_{окт} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

С другой стороны, объем любого многогранника, в который можно вписать сферу, равен одной трети произведения площади его полной поверхности $S_{полн}$ на радиус вписанной сферы $r$:

$V_{окт} = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$

Найдем полную поверхность октаэдра. Октаэдр состоит из 8 граней, каждая из которых — правильный треугольник со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника:

$S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Тогда площадь полной поверхности октаэдра:

$S_{полн} = 8 \cdot S_{грани} = 8 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 2a^2\sqrt{3}$

Теперь приравняем два выражения для объема октаэдра, чтобы найти $r$:

$\frac{a^3\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} (2a^2\sqrt{3}) \cdot r$

Сократим обе части уравнения на $\frac{1}{3}a^2$ (поскольку $a \neq 0$):

$a\sqrt{2} = 2\sqrt{3} \cdot r$

Выразим радиус $r$:

$r = \frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$

Подставим в эту формулу значение длины ребра $a = 1$ см:

$r = \frac{1}{\sqrt{6}}$ см

Теперь, зная радиус, можем вычислить объем вписанного шара:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{1}{(\sqrt{6})^3}$

$(\sqrt{6})^3 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \frac{1}{6\sqrt{6}} = \frac{4\pi}{18\sqrt{6}} = \frac{2\pi}{9\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$V_{шара} = \frac{2\pi \cdot \sqrt{6}}{9\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2\pi\sqrt{6}}{9 \cdot 6} = \frac{2\pi\sqrt{6}}{54} = \frac{\pi\sqrt{6}}{27}$

Таким образом, объем вписанного шара равен $\frac{\pi\sqrt{6}}{27}$ см$^3$.

Ответ: $V_{шара} = \frac{\pi\sqrt{6}}{27}$ см$^3$.