Номер 28.18, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.18. Найдите объем шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром 1 см (рис. 28.11).

Рис. 28.11

Дано:

Правильный тетраэдр

Длина ребра $a = 1$ см.

Найти:

Объем описанного шара $V$.

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ - это радиус шара.

В правильном тетраэдре центр описанной сферы совпадает с центром тетраэдра, который является точкой пересечения его высот. Эта точка делит каждую высоту в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус описанной сферы $R$ равен большему из этих отрезков.

Пусть D-ABC - правильный тетраэдр с ребром $a=1$ см. Проведем высоту тетраэдра DH из вершины D на основание ABC. Точка H является центром равностороннего треугольника ABC.

1. Найдем расстояние от вершины основания до его центра. Пусть AM - медиана и высота в треугольнике ABC. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

При $a=1$ см, $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Центр H делит медиану AM в отношении 2:1, считая от вершины A. Расстояние от вершины A до центра H (проекции вершины D) равно: $AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Найдем высоту тетраэдра DH. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH (угол AHD = 90°). Гипотенуза AD - это ребро тетраэдра, $AD=a=1$ см. Катет AH мы нашли. По теореме Пифагора:

$DH^2 = AD^2 - AH^2 = 1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Высота тетраэдра: $H_{тет} = DH = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

3. Найдем радиус R описанной сферы. Центр сферы O лежит на высоте DH и делит её в отношении 3:1, считая от вершины D. Радиус R равен длине отрезка OD.

$R = \frac{3}{4}DH = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{4}$ см.

4. Найдем объем шара.

$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{(\sqrt{6})^3}{4^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{6\sqrt{6}}{64}$

$V = \frac{24\sqrt{6}\pi}{192} = \frac{\sqrt{6}\pi}{8}$ см³.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{6}\pi}{8}$ см³.