Номер 28.20, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.20. Около конуса, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см, описан шар. Найдите его объем (рис. 28.13).

Рис. 28.13

Дано:

Радиус основания конуса $r = 1$ см

Образующая конуса $l = 2$ см

Перевод в систему СИ:

$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем шара $V$.

Решение:

Так как шар описан около конуса, то вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности шара. Для решения задачи рассмотрим осевое сечение этой комбинации тел. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — окружность большого круга. Таким образом, в сечении мы имеем равнобедренный треугольник, вписанный в окружность.

Пусть осевое сечение конуса — это треугольник $SAB$, где $S$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр его основания. Точка $P$ — центр основания. Из условия задачи имеем: радиус основания конуса $AP = r = 1$ см, образующая $SA = l = 2$ см. Высота конуса обозначается как $SP = h$.

1. Найдем высоту конуса $h$. Треугольник $SPA$ является прямоугольным, так как $SP$ — высота, перпендикулярная основанию. Применим теорему Пифагора:

$SP^2 = SA^2 - AP^2$

$h^2 = l^2 - r^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$h = \sqrt{3}$ см.

2. Найдем радиус $R$ описанного шара. Радиус шара — это радиус окружности, описанной около треугольника $SAB$.

Рассмотрим стороны треугольника $SAB$: $SA = 2$ см, $SB = 2$ см (как образующие), $AB = 2 \cdot AP = 2 \cdot 1 = 2$ см. Поскольку все стороны треугольника равны, он является равносторонним со стороной $a = 2$ см.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Альтернативный способ нахождения радиуса:

Для конуса, вписанного в шар, справедлива формула, связывающая образующую конуса $l$, его высоту $h$ и радиус шара $R$: $l^2 = 2Rh$.

Подставим известные значения $l=2$ см и $h=\sqrt{3}$ см:

$2^2 = 2 \cdot R \cdot \sqrt{3}$

$4 = 2\sqrt{3}R$

$R = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

3. Найдем объем шара по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{2^3 \cdot (\sqrt{3})^3}{3^3}\right) = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{27}\right) = \frac{4}{3}\pi \frac{24\sqrt{3}}{27}$

Сокращая, получаем:

$V = \frac{4\pi \cdot 8\sqrt{3}}{27} = \frac{32\pi\sqrt{3}}{27}$ см³.

Ответ: $\frac{32\pi\sqrt{3}}{27}$ см³.