Номер 28.17, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.17. Найдите объем шара, вписанного в правильный тетраэдр с ребром 1 см (рис. 28.10).

Рис. 28.10

Дано:

Правильный тетраэдр, ребро $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 0,01$ м.

Найти:

Объем вписанного шара $V_{шара}$.

Решение:

Для нахождения объема вписанного шара необходимо сначала найти его радиус $r$. Формула объема шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$.

1. Найдем высоту правильного тетраэдра $H$. Пусть дан тетраэдр DABC с ребром $a$. Его высота $DH_1$ падает в центр основания $ABC$ — точку $H_1$, которая является центром вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника $ABC$.

2. Найдем радиус $R$ окружности, описанной около основания $ABC$. Пусть $AH_2$ — высота в треугольнике $ABC$. $AH_2 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Точка $H_1$ (центр) делит высоту $AH_2$ в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, радиус описанной окружности $R$ (отрезок $AH_1$) равен:

$R = AH_1 = \frac{2}{3}AH_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH_1$. Гипотенуза $AD = a$, катет $AH_1 = R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Второй катет $DH_1$ является высотой тетраэдра $H$. По теореме Пифагора:

$H^2 = AD^2 - AH_1^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$.

Отсюда, $H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

4. Центр вписанного шара $Q$ (и описанного) в правильном тетраэдре лежит на его высоте и делит ее в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус вписанного шара $r$ равен расстоянию от центра $Q$ до любой грани. В частности, он равен длине отрезка $QH_1$.

Таким образом, $r = \frac{1}{4}H$.

Подставим значение высоты $H$:

$r = \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$.

5. Теперь, зная, что $a = 1$ см, найдем радиус $r$:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{12}$ см.

6. Наконец, вычислим объем вписанного шара:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{6}}{12}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{(\sqrt{6})^3}{12^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{6\sqrt{6}}{1728}$.

Упростим полученное выражение:

$V_{шара} = \frac{4 \cdot 6 \cdot \pi\sqrt{6}}{3 \cdot 1728} = \frac{24\pi\sqrt{6}}{5184}$.

Сократим дробь на 24 ($5184 \div 24 = 216$):

$V_{шара} = \frac{\pi\sqrt{6}}{216}$ см³.

Ответ: $V_{шара} = \frac{\pi\sqrt{6}}{216}$ см³.