Номер 28.24, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.24. Чему равен объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара — 75 см?

Дано:

Радиус окружности основания шарового сегмента, $r = 60 \text{ см}$

Радиус шара, $R = 75 \text{ см}$

$r = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$
$R = 75 \text{ см} = 0.75 \text{ м}$

Найти:

Объем шарового сегмента, $V$.

Решение:

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $R$ – радиус шара, а $h$ – высота сегмента. Альтернативная формула: $V = \frac{1}{6} \pi h (3r^2 + h^2)$.

Для нахождения высоты сегмента $h$ рассмотрим осевое сечение шара. В сечении мы получим круг радиуса $R$. Радиус шара $R$, радиус основания сегмента $r$ и расстояние $d$ от центра шара до плоскости основания сегмента образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора найдем $d$:

$d^2 = R^2 - r^2$

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{75^2 - 60^2} = \sqrt{(75-60)(75+60)} = \sqrt{15 \cdot 135} = \sqrt{2025} = 45 \text{ см}$.

Плоскость, отсекающая сегмент, делит шар на два сегмента: меньший и больший. Поскольку в условии задачи не уточнено, объем какого из сегментов нужно найти, мы рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Меньший шаровой сегмент

Высота меньшего сегмента $h_1$ равна разности радиуса шара и расстояния $d$:

$h_1 = R - d = 75 - 45 = 30 \text{ см}$.

Теперь вычислим объем этого сегмента, используя первую формулу:

$V_1 = \pi h_1^2 (R - \frac{h_1}{3}) = \pi \cdot 30^2 (75 - \frac{30}{3}) = \pi \cdot 900 (75 - 10) = 900 \cdot 65 \pi = 58500 \pi \text{ см}^3$.

Ответ: объем меньшего шарового сегмента равен $58500 \pi \text{ см}^3$.

Случай 2: Больший шаровой сегмент

Высота большего сегмента $h_2$ равна сумме радиуса шара и расстояния $d$:

$h_2 = R + d = 75 + 45 = 120 \text{ см}$.

Вычислим объем этого сегмента:

$V_2 = \pi h_2^2 (R - \frac{h_2}{3}) = \pi \cdot 120^2 (75 - \frac{120}{3}) = \pi \cdot 14400 (75 - 40) = 14400 \cdot 35 \pi = 504000 \pi \text{ см}^3$.

Ответ: объем большего шарового сегмента равен $504000 \pi \text{ см}^3$.