Номер 4, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем треугольной призмы, отсеченной этой плоскостью, если объем исходной призмы равен $8\text{ см}^3$:

A) $1\text{ см}^3$;

B) $2\text{ см}^3$;

C) $3\text{ см}^3$;

D) $4\text{ см}^3$.

Дано:

Исходная фигура — треугольная призма.

Объем исходной призмы $V_{исх} = 8 \text{ см}^3$.

Секущая плоскость проходит через среднюю линию основания и параллельна боковому ребру.

$V_{исх} = 8 \text{ см}^3 = 8 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 8 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем отсеченной призмы $V_{отс}$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Для исходной призмы ее объем равен $V_{исх} = S_{исх} \cdot h$, где $S_{исх}$ — площадь треугольника в основании исходной призмы.

По условию, секущая плоскость проходит через среднюю линию основания призмы и параллельна боковому ребру. Это означает, что от исходной призмы отсекается другая, меньшая треугольная призма. Высота отсеченной призмы будет такой же, как и у исходной, так как секущая плоскость параллельна боковому ребру, а значит, и высоте. $h_{отс} = h_{исх} = h$.

Основанием отсеченной призмы является треугольник, который отсекается средней линией от треугольника в основании исходной призмы. Обозначим площадь основания отсеченной призмы как $S_{отс}$.

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный ему треугольник. Коэффициент подобия этих треугольников равен $k = \frac{1}{2}$, так как стороны меньшего треугольника в два раза короче сторон исходного.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда следует, что площадь основания отсеченной призмы в 4 раза меньше площади основания исходной призмы:

$S_{отс} = \frac{1}{4} S_{исх}$

Теперь найдем объем отсеченной призмы:

$V_{отс} = S_{отс} \cdot h = (\frac{1}{4} S_{исх}) \cdot h = \frac{1}{4} (S_{исх} \cdot h)$

Так как $V_{исх} = S_{исх} \cdot h$, мы можем подставить это в формулу для объема отсеченной призмы:

$V_{отс} = \frac{1}{4} V_{исх}$

Подставим известное значение объема исходной призмы:

$V_{отс} = \frac{1}{4} \cdot 8 \text{ см}^3 = 2 \text{ см}^3$.

Ответ: 2 см³.