Номер 7, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 8 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в два раза меньше первого:

A) 16 см; B) 32 см; C) 48 см; D) 64 см?

Дано:

Высота жидкости в первом сосуде, $h_1 = 8$ см

Соотношение диаметров сосудов, $d_2 = \frac{d_1}{2}$

(Поскольку все вычисления можно производить в одних и тех же единицах измерения (см), а ответ требуется в см, перевод в систему СИ не является обязательным для решения данной задачи).

Найти:

Высоту жидкости во втором сосуде, $h_2$ - ?

Решение:

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$

где $S_{осн}$ — площадь основания цилиндра, $r$ — радиус основания, а $h$ — высота уровня жидкости.

При переливании жидкости из одного сосуда в другой ее объем не изменяется. Обозначим объем, высоту, радиус и диаметр для первого сосуда с индексом 1, а для второго — с индексом 2.

Тогда можем записать, что $V_1 = V_2$.

Подставим формулы объемов:

$\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$

Сократим обе части уравнения на $\pi$:

$r_1^2 h_1 = r_2^2 h_2$

По условию задачи, диаметр второго сосуда в два раза меньше диаметра первого: $d_2 = \frac{d_1}{2}$.

Поскольку радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), то и радиус второго сосуда будет в два раза меньше радиуса первого:

$r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{d_1/2}{2} = \frac{d_1}{4}$, а $r_1 = \frac{d_1}{2}$. Следовательно, $r_2 = \frac{r_1}{2}$.

Подставим это соотношение в наше уравнение:

$r_1^2 h_1 = (\frac{r_1}{2})^2 h_2$

$r_1^2 h_1 = \frac{r_1^2}{4} h_2$

Сократим обе части уравнения на $r_1^2$ (так как радиус не может быть равен нулю):

$h_1 = \frac{h_2}{4}$

Отсюда выразим искомую высоту $h_2$:

$h_2 = 4 \cdot h_1$

Подставим известное значение $h_1 = 8$ см:

$h_2 = 4 \cdot 8 = 32$ см

Ответ: уровень жидкости во втором сосуде будет находиться на высоте 32 см, что соответствует варианту B).