Номер 12, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 6 $см^3$. Найдите объем тетраэдра $ACB_1D_1$:

A) 1 $см^3$;

B) 2 $см^3$;

C) 3 $см^3$;

D) 4 $см^3$.

Дано:

Объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, $V_{\text{куба}} = 6 \text{ см}^3$.

Найти:

Объем тетраэдра $ACB_1D_1$.

Решение:

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда объем куба равен $V_{\text{куба}} = a^3$. Из условия задачи мы знаем, что $a^3 = 6 \text{ см}^3$.

Объем тетраэдра $ACB_1D_1$ можно найти, если из объема всего куба вычесть объемы четырех пирамид, которые "отсекаются" от углов куба. Этими пирамидами являются:

1. Пирамида с вершиной $B$ и основанием $AB_1C$ (или, что удобнее для расчета, с вершиной $B_1$ и основанием $ABC$).

2. Пирамида с вершиной $D$ и основанием $AD_1C$ (удобнее с вершиной $D_1$ и основанием $ADC$).

3. Пирамида с вершиной $A_1$ и основанием $AB_1D_1$ (удобнее с вершиной $A$ и основанием $A_1B_1D_1$).

4. Пирамида с вершиной $C_1$ и основанием $CB_1D_1$ (удобнее с вершиной $C$ и основанием $C_1B_1D_1$).

Все эти четыре пирамиды равны между собой. Вычислим объем одной из них, например, пирамиды $B_1ABC$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

В качестве основания возьмем треугольник $ABC$. Это прямоугольный треугольник, лежащий в основании куба, с катетами $AB = a$ и $BC = a$.

Площадь основания: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$.

Высотой пирамиды, опущенной из вершины $B_1$ на плоскость основания $ABC$, является ребро куба $BB_1 = a$.

Тогда объем одной такой пирамиды равен: $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot BB_1 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2\right) \cdot a = \frac{1}{6}a^3$.

Поскольку все четыре "угловые" пирамиды имеют одинаковый объем, их суммарный объем равен:

$V_{\text{4 пир}} = 4 \cdot \frac{1}{6}a^3 = \frac{4}{6}a^3 = \frac{2}{3}a^3$.

Объем искомого тетраэдра $ACB_1D_1$ равен разности объема куба и суммарного объема четырех пирамид:

$V_{ACB_1D_1} = V_{\text{куба}} - V_{\text{4 пир}} = a^3 - \frac{2}{3}a^3 = \frac{1}{3}a^3$.

Мы знаем, что $V_{\text{куба}} = a^3 = 6 \text{ см}^3$. Подставим это значение в полученную формулу:

$V_{ACB_1D_1} = \frac{1}{3} \cdot V_{\text{куба}} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \text{ см}^3$.

Ответ: $2 \text{ см}^3$.