Номер 10, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Объем треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равен 6 см³. Найдите объем четырехугольной пирамиды A₁BCC₁B₁:

A) 1 см³;

B) 2 см³;

C) 3 см³;

D) 4 см³.

Дано:

Объем треугольной призмы $V_{ABCA_1B_1C_1} = 6 \text{ см}^3$.

Найти:

Объем четырехугольной пирамиды $V_{A_1BCC_1B_1}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Для данной призмы $ABCA_1B_1C_1$ с основанием $ABC$ ее объем равен:

$V_{ABCA_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot H = 6 \text{ см}^3$.

Представим исходную призму $ABCA_1B_1C_1$ как совокупность двух многогранников, полученных при сечении призмы плоскостью, проходящей через вершины $A_1$, $B$ и $C$. Этими многогранниками являются:

1. Треугольная пирамида $A_1ABC$.

2. Четырехугольная пирамида $A_1BCC_1B_1$, объем которой требуется найти.

Объем всей призмы равен сумме объемов этих двух частей:

$V_{ABCA_1B_1C_1} = V_{A_1ABC} + V_{A_1BCC_1B_1}$

Найдем объем треугольной пирамиды $A_1ABC$. Основанием этой пирамиды является треугольник $ABC$ (основание призмы), а ее высота, проведенная из вершины $A_1$ к плоскости основания $ABC$, совпадает с высотой призмы $H$.

Объем пирамиды находится по формуле $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Таким образом, объем пирамиды $A_1ABC$ составляет:

$V_{A_1ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H$

Так как $S_{ABC} \cdot H$ есть объем всей призмы, то:

$V_{A_1ABC} = \frac{1}{3} V_{ABCA_1B_1C_1}$

Подставим известное значение объема призмы:

$V_{A_1ABC} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \text{ см}^3$.

Теперь можем найти объем искомой четырехугольной пирамиды $A_1BCC_1B_1$, вычитая объем пирамиды $A_1ABC$ из объема всей призмы:

$V_{A_1BCC_1B_1} = V_{ABCA_1B_1C_1} - V_{A_1ABC}$

$V_{A_1BCC_1B_1} = 6 \text{ см}^3 - 2 \text{ см}^3 = 4 \text{ см}^3$.

Ответ: 4 см³.