Номер 13, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 2 см и образуют угол 30° с плоскостью основания этой пирамиды:

A) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см$^3$;

B) $\frac{2\sqrt{3}}{2}$ см$^3$;

C) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^3$;

D) $\sqrt{3}$ см$^3$.

Дано:

Пирамида - правильная шестиугольная.

Длина бокового ребра $l = 2$ см.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания $α = 30°$.

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота пирамиды.

Для нахождения объема нам необходимо определить высоту пирамиды $H$ и площадь ее основания $S_{осн}$.

В правильной шестиугольной пирамиде высота ($H$) опускается из вершины в центр основания. Боковое ребро ($l$), его проекция на плоскость основания ($R$) и высота пирамиды ($H$) образуют прямоугольный треугольник. Проекция бокового ребра на основание является радиусом описанной около основания окружности ($R$). Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между боковым ребром ($l$) и его проекцией ($R$).

Из этого прямоугольного треугольника, где $l$ - гипотенуза, а $α = 30°$ - угол, прилежащий к катету $R$, находим $H$ и $R$:

Высота $H$ (противолежащий катет):

$H = l \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Радиус описанной окружности $R$ (прилежащий катет):

$R = l \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(30°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника ($a$) равна радиусу описанной около него окружности ($R$). Следовательно:

$a = R = \sqrt{3}$ см.

Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Подставим значение стороны $a$:

$S_{осн} = \frac{3(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см³.

Полученный результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: $ \frac{3\sqrt{3}}{2} $ см³.