Номер 20, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Чему равен объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 4 см, а радиус шара — 5 см:

A) $ \frac{52\pi}{3} $ см$^3$;

B) $ \frac{43\pi}{3} $ см$^3$;

C) $ \frac{32\pi}{3} $ см$^3$;

D) $ \frac{22\pi}{3} $ см$^3$?

Дано:

Радиус окружности основания шарового сегмента, $r = 4 \text{ см}$

Радиус шара, $R = 5 \text{ см}$

$r = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Объем шарового сегмента, $V$.

Решение:

Объем шарового сегмента можно вычислить по формуле $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $h$ — высота сегмента, а $R$ — радиус шара. Для нахождения высоты $h$ сначала определим расстояние $d$ от центра шара до плоскости основания сегмента. Рассмотрим осевое сечение шара, которое проходит через центр шара и перпендикулярно основанию сегмента. В этом сечении мы получим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания сегмента $r$ и расстояние $d$, а гипотенузой — радиус шара $R$.

Согласно теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2$

Выразим и найдем $d$:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$.

Плоскость, отсекающая сегмент, делит шар на два сегмента: меньший и больший. Если в задаче не указано иное, по умолчанию рассматривается меньший сегмент. Высота меньшего сегмента $h$ равна разности между радиусом шара и расстоянием $d$:

$h = R - d = 5 - 3 = 2 \text{ см}$.

Теперь подставим найденные значения $h = 2 \text{ см}$ и $R = 5 \text{ см}$ в формулу для объема сегмента:

$V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3}) = \pi \cdot 2^2 \cdot (5 - \frac{2}{3}) = 4\pi \cdot (\frac{15 - 2}{3}) = 4\pi \cdot \frac{13}{3} = \frac{52\pi}{3} \text{ см}^3$.

Этот результат совпадает с вариантом ответа A).

Проверим расчет, используя другую формулу для объема шарового сегмента, которая зависит от радиуса основания $r$ и высоты $h$:

$V = \frac{1}{6}\pi h(3r^2 + h^2)$

Подставим значения $h=2 \text{ см}$ и $r=4 \text{ см}$:

$V = \frac{1}{6}\pi \cdot 2 \cdot (3 \cdot 4^2 + 2^2) = \frac{\pi}{3} (3 \cdot 16 + 4) = \frac{\pi}{3} (48 + 4) = \frac{\pi}{3} \cdot 52 = \frac{52\pi}{3} \text{ см}^3$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{52\pi}{3} \text{ см}^3$.