Номер 4, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между прямыми $AC_1$ и $BB_1$.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ – правильная треугольная.

Длина всех ребер $a = 1$ см, то есть $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Угол $\alpha$ между прямыми $AC_1$ и $BB_1$.

Решение:

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

По определению, правильная треугольная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник. В прямой призме все боковые ребра перпендикулярны основаниям и параллельны друг другу. Следовательно, боковое ребро $BB_1$ параллельно боковому ребру $CC_1$.

Тогда угол между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $BB_1$ будет равен углу между прямыми $AC_1$ и $CC_1$, так как $BB_1 \parallel CC_1$. Эти прямые пересекаются в точке $C_1$, образуя угол $\angle AC_1C$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACC_1$.

Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Это означает, что ребро $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AC$. Таким образом, угол $\angle ACC_1$ является прямым, то есть $\angle ACC_1 = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ACC_1$ – прямоугольный треугольник.

Из условия задачи известно, что все ребра призмы равны 1 см. Значит, катеты данного прямоугольного треугольника равны:

$AC = 1$ см (как сторона основания).

$CC_1 = 1$ см (как боковое ребро).

Поскольку катеты треугольника $\triangle ACC_1$ равны, он является равнобедренным прямоугольным треугольником. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны по $45^\circ$. Значит, $\angle AC_1C = 45^\circ$.

Также можно найти этот угол с помощью тангенса:

$\tan(\angle AC_1C) = \frac{AC}{CC_1} = \frac{1}{1} = 1$.

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.

$\angle AC_1C = 45^\circ$.

Следовательно, искомый угол между прямыми $AC_1$ и $BB_1$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.