Номер 8, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между прямыми $AC$ и $BE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер (сторона основания и высота) равна 1 см.

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $BE_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BE_1$ воспользуемся методом координат. Введем трехмерную прямоугольную систему координат.

Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания призмы, шестиугольника $ABCDEF$. Ось $Oz$ направим перпендикулярно плоскости основания, вдоль оси симметрии призмы. Ось $Ox$ направим через вершину $A$.

Так как призма правильная, ее основания — правильные шестиугольники. Все ребра равны 1, значит, сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника, то есть 1.

Определим координаты вершин, необходимых для решения задачи.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$):

• Точка $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат: $A(1, 0, 0)$.

• Точка $B$ получается поворотом точки $A$ на угол $60^\circ$ вокруг оси $Oz$: $B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) \Rightarrow B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

• Точка $C$ получается поворотом точки $A$ на угол $120^\circ$ вокруг оси $Oz$: $C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) \Rightarrow C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

• Точка $E$ получается поворотом точки $A$ на угол $240^\circ$ вокруг оси $Oz$: $E(1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) \Rightarrow E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершины верхнего основания (плоскость $z=1$):

• Точка $E_1$ имеет те же координаты $x$ и $y$, что и точка $E$, а координата $z$ равна высоте призмы: $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $AC$ и $BE_1$.

• Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты: $\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{-\frac{1}{2} - 1; \frac{\sqrt{3}}{2} - 0; 0 - 0\} = \{-\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0\}$.

• Вектор $\vec{BE_1}$ имеет координаты: $\vec{BE_1} = \{x_{E_1} - x_B; y_{E_1} - y_B; z_{E_1} - z_B\} = \{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}; 1 - 0\} = \{-1; -\sqrt{3}; 1\}$.

Угол $\alpha$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами. Формула для косинуса угла между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE_1}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{BE_1} = (-\frac{3}{2}) \cdot (-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны), при условии, что они не нулевые. Найдем их длины, чтобы в этом убедиться.

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

$|\vec{BE_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.

Длины векторов не равны нулю. Так как их скалярное произведение равно нулю, косинус угла между ними равен:

$\cos \alpha = \frac{0}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = 0$.

Следовательно, угол $\alpha$ равен $\arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.