Номер 14, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина ребра основания $a=1$ см.

Длина бокового ребра $h=1$ см.

Найти:

Косинус угла $\alpha$ между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат.

Поместим начало координат в точку A. Ось Ox направим вдоль ребра AB. Ось Oz направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось Oy будет перпендикулярна осям Ox и Oz, дополняя систему до правой тройки.

Найдем координаты вершин, необходимых для решения задачи. Длина всех ребер равна 1. Угол в основании правильного шестиугольника равен $120^\circ$.

• Координаты точки A: $A(0; 0; 0)$.
• Поскольку ребро $AB=1$ и лежит на оси Ox, координаты точки B: $B(1; 0; 0)$.
• Точка $A_1$ лежит на оси Oz на расстоянии 1 от начала координат, ее координаты: $A_1(0; 0; 1)$.
• Для нахождения координат точки C спроецируем ее на плоскость Oxy. Вектор $\vec{BC}$ имеет длину 1 и образует с вектором $\vec{BA}$ угол $120^\circ$. Вектор $\vec{BA}$ направлен против оси Ox. Значит, вектор $\vec{BC}$ образует с положительным направлением оси Ox угол $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
• Проекции вектора $\vec{BC}$ на оси координат: $BC_x = BC \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, $BC_y = BC \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Координаты точки C равны сумме координат точки B и проекций вектора $\vec{BC}$: $C(x_B + BC_x; y_B + BC_y; z_B) = C(1 + \frac{1}{2}; 0 + \frac{\sqrt{3}}{2}; 0) = C(\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$.
• Координаты точек верхнего основания получаются сдвигом соответствующих точек нижнего основания на вектор $(0; 0; 1)$. Таким образом, координаты точек $B_1$ и $C_1$:
• $B_1(1; 0; 1)$.
• $C_1(\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.

Теперь найдем координаты векторов, соответствующих прямым $AB_1$ и $BC_1$.

Вектор $\vec{AB_1} = (x_{B_1} - x_A; y_{B_1} - y_A; z_{B_1} - z_A) = (1-0; 0-0; 1-0) = (1; 0; 1)$.

Вектор $\vec{BC_1} = (x_{C_1} - x_B; y_{C_1} - y_B; z_{C_1} - z_B) = (\frac{3}{2}-1; \frac{\sqrt{3}}{2}-0; 1-0) = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} + 0 + 1 = \frac{3}{2}$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos(\alpha) = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.