Номер 5, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$ см, найдите угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

Дано:

$SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны 1 см, т.е. $SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$ см.

Перевод в СИ:
Длина ребра $a = 1$ см $= 0.01$ м.

Найти:

Угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. В нашем случае искомый угол — это угол между боковым ребром $SB$ и плоскостью основания $ABCD$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$, который является основанием пирамиды. Поскольку пирамида $SABCD$ правильная, её вершина $S$ проецируется в центр основания. Следовательно, высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

Проекцией точки $S$ на плоскость $ABC$ является точка $O$. Точка $B$ уже лежит в плоскости основания, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $B$. Таким образом, отрезок $OB$ является проекцией наклонной $SB$ на плоскость $ABC$.

Искомый угол — это угол $\angle SBO$. Найдем его из прямоугольного треугольника $\triangle SOB$, где $\angle SOB = 90^\circ$ (так как $SO$ — перпендикуляр к плоскости, в которой лежит $OB$).

Для нахождения угла нам нужно знать длины хотя бы двух сторон этого треугольника.

1. Гипотенуза $SB$ является боковым ребром пирамиды. По условию, ее длина равна $SB = 1$ см.

2. Катет $OB$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Найдем сначала длину диагонали $BD$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$ (где $AB = 1$ см и $AD = 1$ см):

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$BD = \sqrt{2}$ см.

Точка $O$ является серединой диагонали $BD$, поэтому:

$OB = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle SOB$ мы знаем длину гипотенузы $SB$ и прилежащего к искомому углу $\angle SBO$ катета $OB$. Мы можем найти косинус этого угла:

$\cos(\angle SBO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OB}{SB} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$.

Следовательно, угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.