Номер 12, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите тангенс угла между прямой $BB_1$ и плоскостью $ABC_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.
Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м.

Найти:

Тангенс угла между прямой $BB_1$ и плоскостью $AB_1C_1$.

Решение:

Пусть $\alpha$ — искомый угол между прямой $BB_1$ и плоскостью $AB_1C_1$. По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Для нахождения проекции прямой $BB_1$ на плоскость $AB_1C_1$, опустим перпендикуляр из точки $B$ на эту плоскость. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Тогда отрезок $BH$ является перпендикуляром к плоскости $AB_1C_1$, а его длина $BH$ — расстоянием от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$.

Поскольку точка $B_1$ принадлежит плоскости $AB_1C_1$, её проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой $B_1$. Следовательно, проекцией отрезка $BB_1$ на плоскость $AB_1C_1$ является отрезок $B_1H$.

Искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle BB_1H$ в прямоугольном треугольнике $\triangle BB_1H$ (с прямым углом $\angle B H B_1$).

Из этого треугольника тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $BH$ к прилежащему катету $B_1H$: $ \tan(\alpha) = \frac{BH}{B_1H} $.

Найдем длину $BH$, используя метод объемов для тетраэдра $B AB_1 C_1$. Объем тетраэдра можно вычислить по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.

1. Вычислим объем тетраэдра, приняв за основание $\triangle BB_1C_1$, а за высоту — расстояние от точки $A$ до плоскости основания $(BCC_1B_1)$.

Так как призма правильная и все ребра равны 1, грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной 1. Треугольник $\triangle BB_1C_1$ — прямоугольный, так как $\angle C_1B_1B = 90^\circ$. Его площадь равна: $ S_{\triangle BB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot BB_1 \cdot B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} $.

Высота тетраэдра, опущенная из вершины $A$ на плоскость грани $BCC_1B_1$, равна высоте $h_{ABC}$ равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 1, проведенной к стороне $BC$. $ h_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Объем тетраэдра $B AB_1 C_1$ (он же $A BB_1 C_1$) равен: $ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle BB_1C_1} \cdot h_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{12} $.

2. Теперь выразим тот же объем, приняв за основание $\triangle AB_1C_1$, а за высоту — искомое расстояние $BH$: $ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle AB_1C_1} \cdot BH $.

Найдем площадь треугольника $AB_1C_1$. Для этого определим длины его сторон:
- $B_1C_1 = 1$ (ребро верхнего основания призмы).
- $AB_1$ — диагональ квадрата $ABB_1A_1$ со стороной 1. По теореме Пифагора: $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
- $AC_1$ — диагональ квадрата $ACC_1A_1$ со стороной 1. $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Треугольник $AB_1C_1$ — равнобедренный со сторонами $\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1$. Найдем его высоту $h'$, проведенную к основанию $B_1C_1$. По теореме Пифагора: $ h' = \sqrt{(AB_1)^2 - (\frac{B_1C_1}{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{2 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} $.

Площадь треугольника $AB_1C_1$: $ S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot B_1C_1 \cdot h' = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4} $.

Приравняем два выражения для объема, чтобы найти $BH$: $ \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle AB_1C_1} \cdot BH = \frac{\sqrt{3}}{12} $
$ \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot BH = \frac{\sqrt{3}}{12} $
$ \frac{\sqrt{7}}{12} \cdot BH = \frac{\sqrt{3}}{12} \implies BH = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} $.

3. Найдем длину катета $B_1H$ в прямоугольном треугольнике $\triangle BB_1H$. По теореме Пифагора: $ B_1H = \sqrt{BB_1^2 - BH^2} $. Длина ребра $BB_1 = 1$. $ B_1H = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{7}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} $.

4. Наконец, вычислим искомый тангенс: $ \tan(\alpha) = \frac{BH}{B_1H} = \frac{\sqrt{3}/\sqrt{7}}{2/\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $