Номер 16, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите синус угла между прямой $BC_1$ и плоскостью $AFF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1 см (сторона основания $a=1$ см, высота $h=1$ см).

Найти:

Синус угла между прямой $BC_1$ и плоскостью $AFF_1$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Обозначим искомый угол как $\alpha$. Синус этого угла равен модулю косинуса угла $\gamma$ между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости. Формула: $\sin\alpha = |\cos\gamma|$.

Для решения задачи используем геометрический метод. Сначала найдем вектор нормали к плоскости $AFF_1A_1$.

1. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Все его внутренние углы равны $120^\circ$, в частности $\angle FAB = 120^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как призма правильная, $AB = BC = 1$. Следовательно, $\triangle ABC$ - равнобедренный. Угол $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

3. Найдем угол $\angle FAC$: $\angle FAC = \angle FAB - \angle BAC = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Это означает, что прямая $AC$ перпендикулярна прямой $AF$ (то есть $AC \perp AF$).

4. Так как призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - прямая, её боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AC$ (то есть $AA_1 \perp AC$).

5. Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AF$ и $AA_1$) в плоскости $AFF_1A_1$, она перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, вектор $\vec{AC}$ является вектором нормали к плоскости $AFF_1A_1$.

Теперь задача сводится к нахождению косинуса угла $\gamma$ между прямыми $BC_1$ и $AC$. Эти прямые являются скрещивающимися. Угол между ними равен углу между одной из прямых и прямой, параллельной второй и пересекающей первую.

Прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$ и $|A_1C_1|=|AC|$. Прямые $A_1C_1$ и $BC_1$ пересекаются в точке $C_1$. Следовательно, искомый угол $\gamma$ между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BC_1$ равен углу $\angle A_1C_1B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1C_1B$ и найдем длины его сторон.

• Сторона $A_1C_1$: Её длина равна длине диагонали $AC$ основания. В $\triangle ABC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.

Отсюда $|A_1C_1| = |AC| = \sqrt{3}$.

• Сторона $BC_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCC_1$ (угол $\angle BCC_1 = 90^\circ$, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию). По теореме Пифагора:

$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.

Отсюда $|BC_1| = \sqrt{2}$.

• Сторона $A_1B$: Эта отрезок соединяет вершину верхнего основания $A_1$ с вершиной нижнего основания $B$. Рассмотрим вектор $\vec{A_1B} = \vec{A_1A} + \vec{AB}$. Так как $A_1A \perp$ плоскости основания, то $\vec{A_1A} \perp \vec{AB}$. Тогда квадрат длины вектора $\vec{A_1B}$ можно найти по теореме Пифагора:

$|A_1B|^2 = |A_1A|^2 + |AB|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.

Отсюда $|A_1B| = \sqrt{2}$.

Теперь в треугольнике $\triangle A_1C_1B$ известны все три стороны: $|A_1C_1|=\sqrt{3}$, $|BC_1|=\sqrt{2}$, $|A_1B|=\sqrt{2}$. Треугольник является равнобедренным.

Применим теорему косинусов для $\triangle A_1C_1B$, чтобы найти косинус угла $\gamma = \angle A_1C_1B$:

$|A_1B|^2 = |A_1C_1|^2 + |BC_1|^2 - 2 \cdot |A_1C_1| \cdot |BC_1| \cdot \cos\gamma$

$(\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos\gamma$

$2 = 3 + 2 - 2\sqrt{6}\cos\gamma$

$2 = 5 - 2\sqrt{6}\cos\gamma$

$2\sqrt{6}\cos\gamma = 3$

$\cos\gamma = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Синус искомого угла $\alpha$ между прямой $BC_1$ и плоскостью $AFF_1$ равен модулю косинуса угла $\gamma$:

$\sin\alpha = |\cos\gamma| = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{4}$