Номер 15, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}{E}_{1}{F}_{1}$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между прямой $A{A}_{1}$ и плоскостью $BC{E}_{1}$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1 см.

Длина ребра основания, $a_{осн} = 1$ см.

Длина бокового ребра (высота), $h = 1$ см.

В системе СИ:

$a_{осн} = 0.01$ м.

$h = 0.01$ м.

Так как $a_{осн} = h$, обозначим длину всех ребер как $a=1$ см.

Найти:

Угол $\theta$ между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCE_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в центре $O$ нижнего основания призмы $ABCDEF$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты призмы. Ось $Oy$ проведем через вершины $A$ и $D$. Ось $Ox$ будет перпендикулярна оси $Oy$ и пройдет через середины ребер $BC$ и $EF$.

В правильном шестиугольнике со стороной $a$ расстояние от центра до вершины равно $a$, а расстояние от центра до середины стороны (апофема) равно $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Так как все ребра призмы равны $a$, найдем координаты нужных нам точек, выражая их через $a$.

Координаты точек нижнего основания (плоскость $z=0$):

Точка $A$ лежит на положительной полуоси $Oy$ на расстоянии $a$ от начала координат: $A(0, a, 0)$.

Для точки $B$ проекция на ось $Ox$ равна апофеме $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, а проекция на ось $Oy$ равна $\frac{a}{2}$. Координаты: $B(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.

Для точки $C$ проекция на ось $Ox$ также равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, а проекция на ось $Oy$ равна $-\frac{a}{2}$. Координаты: $C(\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$.

Точка $E$ симметрична точке $B$ относительно центра координат. Координаты: $E(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$.

Координаты точек верхнего основания (плоскость $z=a$):

Точка $A_1$ получается сдвигом точки $A$ на вектор $(0, 0, a)$: $A_1(0, a, a)$.

Точка $E_1$ получается сдвигом точки $E$ на вектор $(0, 0, a)$: $E_1(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2}, a)$.

Угол $\theta$ между прямой и плоскостью определяется по формуле:$ \sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} $, где $\vec{v}$ - направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ - вектор нормали к плоскости.

1. Найдем направляющий вектор $\vec{v}$ прямой $AA_1$.$ \vec{v} = \vec{AA_1} = A_1 - A = (0-0, a-a, a-0) = (0, 0, a) $.Длина этого вектора: $|\vec{v}| = \sqrt{0^2+0^2+a^2} = a$.

2. Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCE_1$. Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BE_1}$.$ \vec{BC} = C - B = (\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, 0-0) = (0, -a, 0) $.$ \vec{BE_1} = E_1 - B = (-\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, a-0) = (-a\sqrt{3}, -a, a) $.Вектор нормали $\vec{n}$ равен их векторному произведению:$ \vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -a & 0 \\ -a\sqrt{3} & -a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-a \cdot a - 0 \cdot (-a)) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a\sqrt{3})) + \mathbf{k}(0 \cdot (-a) - (-a) \cdot (-a\sqrt{3})) $.$ \vec{n} = -a^2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} - a^2\sqrt{3}\mathbf{k} = (-a^2, 0, -a^2\sqrt{3}) $.Для удобства расчетов можно использовать любой коллинеарный вектор, например, разделив на $-a^2$ (поскольку $a \ne 0$). Возьмем вектор $\vec{n'} = (1, 0, \sqrt{3})$.Найдем его длину: $|\vec{n'}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

3. Вычислим искомый угол $\theta$.Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}$ и $\vec{n'}$:$ \vec{v} \cdot \vec{n'} = (0)(1) + (0)(0) + (a)(\sqrt{3}) = a\sqrt{3} $.Теперь подставим все значения в формулу для синуса угла:$ \sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n'}|} = \frac{|a\sqrt{3}|}{a \cdot 2} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.Как видно, результат не зависит от значения $a$.Отсюда находим угол:$ \theta = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ $.

Ответ: $60^\circ$.