Номер 13, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите синус угла между прямой $BD$ и плоскостью $SBC$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$. Поскольку искомая величина (синус угла) является безразмерной, для удобства вычислений будем использовать значение длины ребра, равное 1.

Найти:

Синус угла $\alpha$ между прямой BD и плоскостью SBC, то есть $\sin(\alpha)$.

Решение:

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Синус этого угла равен отношению расстояния от любой точки на прямой (не лежащей в плоскости) до плоскости, к расстоянию от этой же точки до точки пересечения прямой с плоскостью.

В нашем случае прямая BD пересекает плоскость SBC в точке B. Возьмем точку D на прямой BD. Тогда синус искомого угла $\alpha$ можно найти по формуле:

$\sin(\alpha) = \frac{d(D, (SBC))}{BD}$

где $d(D, (SBC))$ – расстояние от точки D до плоскости SBC, а $BD$ – длина диагонали основания.

1. Найдем длину диагонали $BD$.

Основание пирамиды ABCD – это квадрат со стороной $a=1$. Диагональ квадрата $BD$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCD:

$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

2. Найдем расстояние от точки D до плоскости SBC, обозначим его $h_D$.

Для этого воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр SBCD. Его объем можно вычислить двумя способами.

Способ A: Примем за основание треугольник BCD, а за высоту – высоту пирамиды SO (где O – центр основания).

Площадь основания $S_{BCD}$ (прямоугольный треугольник):

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Найдем высоту пирамиды SO. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. Катет $OB$ равен половине диагонали $BD$: $OB = \frac{BD}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Гипотенуза $SB$ – это боковое ребро, $SB = 1$.

$SO = \sqrt{SB^2 - OB^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Объем тетраэдра $V_{SBCD}$:

$V_{SBCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{BCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12}$.

Способ B: Примем за основание треугольник SBC, а за высоту – искомое расстояние $h_D$ от точки D до плоскости SBC.

Площадь основания $S_{SBC}$. Так как все ребра пирамиды равны 1, треугольник SBC является равносторонним со стороной 1. Его площадь:

$S_{SBC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Объем тетраэдра $V_{SBCD}$ (он же $V_{D-SBC}$):

$V_{D-SBC} = \frac{1}{3} \cdot S_{SBC} \cdot h_D = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot h_D = \frac{\sqrt{3}}{12} h_D$.

Приравняем объемы, вычисленные двумя способами:

$\frac{\sqrt{3}}{12} h_D = \frac{\sqrt{2}}{12}$

$h_D = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

3. Вычислим синус угла $\alpha$.

$\sin(\alpha) = \frac{h_D}{BD} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.