Номер 2, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $ADC_1$ и $BCD_1$.

3. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$...

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскости $(ADC_1)$ и $(BCD_1)$.

Найти:

Угол $\phi$ между плоскостями $(ADC_1)$ и $(BCD_1)$.

Решение:

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения. Однако, если удастся доказать, что одна из плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то по определению такие плоскости будут перпендикулярны, и угол между ними составит $90^\circ$. Воспользуемся этим признаком.

Рассмотрим плоскость $(BCD_1)$. В ней лежит прямая $CD_1$. Докажем, что прямая $CD_1$ перпендикулярна плоскости $(ADC_1)$.

Для того чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости, необходимо показать, что эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости. В плоскости $(ADC_1)$ лежат прямые $AD$ и $DC_1$, которые пересекаются в точке $D$.

1. Докажем перпендикулярность прямых $CD_1$ и $AD$.

Ребро куба $AD$ перпендикулярно грани $CDD_1C_1$, так как ребро $AD$ перпендикулярно ребру $CD$ (как стороны квадрата $ABCD$) и перпендикулярно ребру $DD_1$ (так как $DD_1$ - боковое ребро, перпендикулярное основанию $ABCD$).

Прямая $CD_1$ целиком лежит в плоскости грани $CDD_1C_1$.

Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $CDD_1C_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AD \perp CD_1$.

2. Докажем перпендикулярность прямых $CD_1$ и $DC_1$.

Грань $CDD_1C_1$ является квадратом. Прямые $CD_1$ и $DC_1$ являются его диагоналями. По свойству диагоналей квадрата, они взаимно перпендикулярны. Следовательно, $CD_1 \perp DC_1$.

3. Подведем итог. Прямая $CD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AD$ и $DC_1$) в плоскости $(ADC_1)$. Из этого следует, что прямая $CD_1$ перпендикулярна всей плоскости $(ADC_1)$.

Поскольку плоскость $(BCD_1)$ проходит через прямую $CD_1$, которая, как мы доказали, перпендикулярна плоскости $(ADC_1)$, то по признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость $(BCD_1)$ перпендикулярна плоскости $(ADC_1)$.

Таким образом, искомый угол между плоскостями равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$