Номер 7, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между плоскостями $ABB_1$ и $CEE_1$.

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1$ – правильная шестиугольная призма.
Все ребра равны 1 см, т.е. сторона основания $a=1$ см и боковое ребро $h=1$ см.

Найти:

Угол между плоскостями $(ABB_1)$ и $(CEE_1)$.

Решение:

Плоскость $(ABB_1)$ – это боковая грань призмы $ABB_1A_1$. Плоскость $(CEE_1)$ – это диагональное сечение, проходящее через вершины $C, E, E_1, C_1$.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1$ является правильной, она является прямой призмой. Это означает, что её боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, и ребро $EE_1$ также перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$.

Плоскость $(ABB_1)$ проходит через прямую $BB_1$, которая перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Следовательно, плоскость $(ABB_1)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

Аналогично, плоскость $(CEE_1)$ проходит через прямую $EE_1$, которая перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Следовательно, плоскость $(CEE_1)$ также перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

Угол между двумя плоскостями, перпендикулярными к третьей плоскости, равен углу между их линиями пересечения с этой третьей плоскостью.

Линией пересечения плоскости $(ABB_1)$ с плоскостью основания $(ABC)$ является прямая $AB$.

Линией пересечения плоскости $(CEE_1)$ с плоскостью основания $(ABC)$ является прямая $CE$.

Следовательно, задача сводится к нахождению угла между прямыми $AB$ и $CE$ в плоскости основания. Рассмотрим основание призмы – правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$ см.

В правильном шестиугольнике диагональ $CE$ параллельна диагонали $BF$. Это следует из симметрии шестиугольника относительно его большой диагонали $AD$: вершины $B$ и $F$ симметричны, так же как и вершины $C$ и $E$, поэтому отрезки $BF$ и $CE$ параллельны.

Таким образом, угол между прямыми $AB$ и $CE$ равен углу между прямыми $AB$ и $BF$. Найдем величину угла $\angle ABF$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABF$. Его стороны $AB$ и $AF$ являются сторонами правильного шестиугольника, поэтому $AB = AF = 1$ см. Значит, $\triangle ABF$ – равнобедренный.

Угол $\angle FAB$ является внутренним углом правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле:$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$Для шестиугольника ($n=6$):$\angle FAB = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Так как $\triangle ABF$ равнобедренный, то углы при его основании равны: $\angle ABF = \angle AFB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:$\angle ABF + \angle AFB + \angle FAB = 180^\circ$$2\angle ABF + 120^\circ = 180^\circ$$2\angle ABF = 180^\circ - 120^\circ$$2\angle ABF = 60^\circ$$\angle ABF = 30^\circ$

Угол между прямыми $AB$ и $BF$ равен $30^\circ$. Следовательно, искомый угол между плоскостями $(ABB_1)$ и $(CEE_1)$ также равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.