Номер 8, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между плоскостями $ACC_1$ и $BEE_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная.
Все ребра равны 1 см.
Сторона основания $a = AB = BC = ... = 1 \text{ см}$.
Боковое ребро $h = AA_1 = BB_1 = ... = 1 \text{ см}$.

Найти:

Угол $\alpha$ между плоскостями $(ACC_1)$ и $(BEE_1)$.

Решение:

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскости основания $(ABC)$.
Плоскость $(ACC_1)$ содержит боковое ребро $CC_1$, следовательно, плоскость $(ACC_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.
Аналогично, плоскость $(BEE_1)$ содержит боковое ребро $EE_1$, и, следовательно, она также перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Угол между двумя плоскостями, перпендикулярными к третьей плоскости, равен углу между их линиями пересечения с этой третьей плоскостью.

Линией пересечения плоскости $(ACC_1)$ с плоскостью основания $(ABC)$ является прямая $AC$.
Линией пересечения плоскости $(BEE_1)$ с плоскостью основания $(ABC)$ является прямая $BE$.

Следовательно, искомый угол между плоскостями $(ACC_1)$ и $(BEE_1)$ равен углу между прямыми $AC$ и $BE$ в плоскости основания. Найдем этот угол, рассмотрев правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1.

Способ 1: Геометрический

Рассмотрим основание — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $K$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BE$. Найдем угол $\angle BKC$, который и будет углом между прямыми.

Рассмотрим треугольник $KBC$.

1. Найдем угол $\angle KBC$. Диагональ $BE$ проходит через центр шестиугольника $O$. Треугольник $BOC$ является равносторонним (так как $OB=OC=BC=1$), поэтому все его углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle OBC = 60^\circ$. Так как точка $K$ лежит на $BE$, то $\angle KBC = \angle OBC = 60^\circ$.

2. Найдем угол $\angle KCB$. Треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AB=BC=1$). Угол правильного шестиугольника $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle BCA = \angle BAC = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$. Так как точка $K$ лежит на $AC$, то $\angle KCB = \angle BCA = 30^\circ$.

3. В треугольнике $KBC$ сумма углов равна $180^\circ$. Тогда угол $\angle BKC$ равен:$ \angle BKC = 180^\circ - \angle KBC - \angle KCB = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ $.

Угол между прямыми $AC$ и $BE$ составляет $90^\circ$.

Способ 2: Векторный

Введем систему координат с центром $O$ в центре шестиугольника. Пусть ось $Ox$ проходит через вершину $A$. Тогда $A(1, 0)$. Поскольку сторона шестиугольника равна 1, координаты других вершин будут:$B(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ)) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
$C(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ)) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
$E$ симметрична $B$ относительно центра $O$, поэтому $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$:$\vec{AC} = \{C_x - A_x; C_y - A_y\} = \{-\frac{1}{2} - 1; \frac{\sqrt{3}}{2} - 0\} = \{-\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\}$
$\vec{BE} = \{E_x - B_x; E_y - B_y\} = \{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\} = \{-1; -\sqrt{3}\}$

Найдем скалярное произведение этих векторов:$\vec{AC} \cdot \vec{BE} = (-\frac{3}{2}) \cdot (-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, они ортогональны, то есть угол между ними равен $90^\circ$.

Оба способа показывают, что угол между прямыми $AC$ и $BE$ равен $90^\circ$. Следовательно, угол между плоскостями $(ACC_1)$ и $(BEE_1)$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.