Номер 9, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $CB_1D_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскости $(ABC)$ и $(CB_1D_1)$.

Найти:

Тангенс угла между плоскостями $(ABC)$ и $(CB_1D_1)$.

Решение:

Угол между двумя плоскостями можно найти, используя метод проекций. Косинус угла $\alpha$ между плоскостями равен отношению площади ортогональной проекции фигуры, лежащей в одной плоскости, на другую плоскость к площади самой фигуры:

$\cos \alpha = \frac{S_{пр}}{S_{фигуры}}$

1. В качестве фигуры в плоскости $(CB_1D_1)$ выберем треугольник $\triangle CB_1D_1$. Найдем его площадь.Пусть длина ребра куба равна $a$. Найдем длины сторон треугольника $\triangle CB_1D_1$:

• $CB_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$. По теореме Пифагора для $\triangle BCC_1$: $CB_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
• $CD_1$ — диагональ грани $CDD_1C_1$. По теореме Пифагора для $\triangle CDD_1$: $CD_1 = \sqrt{CD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
• $B_1D_1$ — диагональ грани $A_1B_1C_1D_1$. По теореме Пифагора для $\triangle A_1B_1D_1$: $B_1D_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как все стороны треугольника $\triangle CB_1D_1$ равны, он является равносторонним со стороной $a\sqrt{2}$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{\triangle CB_1D_1} = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

2. Теперь найдем ортогональную проекцию треугольника $\triangle CB_1D_1$ на плоскость $(ABC)$. Плоскость $(ABC)$ является плоскостью нижнего основания куба.

• Проекция точки $C$ на плоскость $(ABC)$ — это сама точка $C$.
• Проекция точки $B_1$ на плоскость $(ABC)$ — это точка $B$.
• Проекция точки $D_1$ на плоскость $(ABC)$ — это точка $D$.

Следовательно, проекцией треугольника $\triangle CB_1D_1$ на плоскость $(ABC)$ является треугольник $\triangle CDB$.

3. Найдем площадь проекции — треугольника $\triangle CDB$.Треугольник $\triangle CDB$ является прямоугольным (так как $DC \perp CB$) и равнобедренным ($CD=CB=a$). Его площадь равна:

$S_{\triangle CDB} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$.

4. Теперь мы можем найти косинус угла $\alpha$ между плоскостями:

$\cos \alpha = \frac{S_{\triangle CDB}}{S_{\triangle CB_1D_1}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

5. Найдем тангенс угла $\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

$\cos^2 \alpha = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.

$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{1/3} = 3$.

$\tan^2 \alpha = 3 - 1 = 2$.

Поскольку угол между плоскостями берется в пределах от $0$ до $90^\circ$, его тангенс положителен.

$\tan \alpha = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.