Номер 11, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной треугольной призме $\text{ABCA}_1\text{B}_1\text{C}_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите тангенс угла между плоскостями $\text{ABC}$ и $\text{CA}_1\text{B}_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все ребра которой равны 1 см.

Сторона основания $a = 1$ см.

Высота призмы $H = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 1$ см $= 0.01$ м.

$H = 1$ см $= 0.01$ м.

Найти:

Тангенс угла $\alpha$ между плоскостями $(ABC)$ и $(CA_1B_1)$.

Решение:

Угол между двумя плоскостями равен углу между двумя перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения в одной точке, причем по одному перпендикуляру в каждой плоскости. Этот угол называется линейным углом двугранного угла.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(CA_1B_1)$.Плоскость $(ABC)$ является плоскостью нижнего основания призмы, а плоскость $(CA_1B_1)$ проходит через вершину $C$ нижнего основания и ребро $A_1B_1$ верхнего основания.Поскольку призма правильная, ее основания параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$. Это означает, что прямая $AB$, лежащая в плоскости $(ABC)$, параллельна прямой $A_1B_1$, лежащей в плоскости $(A_1B_1C_1)$.Плоскость $(CA_1B_1)$ пересекает параллельные плоскости $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$. Линия пересечения с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ — это прямая $A_1B_1$. Следовательно, линия пересечения с плоскостью $(ABC)$ должна быть параллельна $A_1B_1$. Точка $C$ принадлежит обеим искомым плоскостям, значит, линия их пересечения проходит через точку $C$ и параллельна $A_1B_1$ (а также $AB$). Обозначим эту линию пересечения как $l$.

2. Построим линейный угол двугранного угла.В основании призмы лежит равносторонний треугольник $ABC$. Проведем в этом треугольнике высоту (которая также является медианой) $CM$ к стороне $AB$. Так как $CM \perp AB$, а $l \parallel AB$, то $CM \perp l$. Отрезок $CM$ лежит в плоскости $(ABC)$.

Рассмотрим треугольник $CA_1B_1$. Так как призма правильная, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. В прямоугольном треугольнике $\triangle CC_1A_1$ (с прямым углом $\angle C C_1 A_1$) по теореме Пифагора $CA_1^2 = CC_1^2 + C_1A_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Аналогично, $CB_1^2 = 2$. Таким образом, $CA_1 = CB_1 = \sqrt{2}$. Треугольник $CA_1B_1$ является равнобедренным с основанием $A_1B_1 = 1$. Проведем в нем медиану $CM_1$ к основанию $A_1B_1$, где $M_1$ — середина $A_1B_1$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также и высотой, следовательно, $CM_1 \perp A_1B_1$. Так как $l \parallel A_1B_1$, то $CM_1 \perp l$. Отрезок $CM_1$ лежит в плоскости $(CA_1B_1)$.

Итак, линейный угол $\alpha$ между плоскостями $(ABC)$ и $(CA_1B_1)$ равен углу между построенными перпендикулярами $CM$ и $CM_1$. Таким образом, $\alpha = \angle MCM_1$.

3. Найдем тангенс угла $\angle MCM_1$.Рассмотрим треугольник $MCM_1$. Точка $M$ — середина ребра $AB$, а $M_1$ — середина ребра $A_1B_1$. Отрезок $MM_1$ соединяет середины оснований и параллелен боковому ребру $CC_1$. Так как боковые ребра правильной призмы перпендикулярны основанию, то $MM_1 \perp (ABC)$, и, следовательно, $MM_1 \perp CM$. Это означает, что треугольник $MCM_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $M$.

Поскольку искомая величина (тангенс угла) является безразмерной, для удобства вычислений будем использовать заданные длины ребер в сантиметрах.

Катет $MM_1$ равен высоте призмы: $MM_1 = H = 1$ см.

Катет $CM$ является высотой равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a=1$ см. Длина высоты вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.$CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\angle MCM_1$:$\tan \alpha = \tan(\angle MCM_1) = \frac{MM_1}{CM} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.