Номер 2, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $A_1D_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA₁B₁C₁D₁$.
Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A₁D₁$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Давайте рассмотрим треугольник $BA₁D₁$. Искомое расстояние будет высотой этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $A₁D₁$.

Найдем длины сторон треугольника $BA₁D₁$:

1. Сторона $A₁D₁$ является ребром куба, поэтому ее длина равна 1.
$A₁D₁ = 1$.

2. Сторона $BA₁$ является диагональю грани $ABB₁A₁$. Грань $ABB₁A₁$ — это квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABA₁$:
$BA₁ = \sqrt{AB^2 + AA₁^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

3. Сторона $BD₁$ является пространственной диагональю куба. Найдем ее длину из прямоугольного треугольника $BDD₁$. Катет $DD₁$ является ребром куба, $DD₁ = 1$. Катет $BD$ является диагональю основания $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной 1 равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
По теореме Пифагора для треугольника $BDD₁$:
$BD₁ = \sqrt{BD^2 + DD₁^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.

Теперь у нас есть треугольник $BA₁D₁$ со сторонами $1, \sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Проверим, является ли он прямоугольным, с помощью обратной теоремы Пифагора.
Квадраты сторон:
$A₁D₁^2 = 1^2 = 1$
$BA₁^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
$BD₁^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Сумма квадратов двух меньших сторон равна $A₁D₁^2 + BA₁^2 = 1 + 2 = 3$.
Эта сумма равна квадрату третьей, самой большой, стороны: $3 = BD₁^2$.
Так как $A₁D₁^2 + BA₁^2 = BD₁^2$, то треугольник $BA₁D₁$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $A₁$.

В прямоугольном треугольнике $BA₁D₁$ катет $BA₁$ перпендикулярен катету $A₁D₁$. Следовательно, длина отрезка $BA₁$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до прямой $A₁D₁$.

Длина $BA₁$ равна $\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.