Номер 1, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный.
Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$, обозначим его $d(B, AD_1)$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой по определению — это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой. Следовательно, нам необходимо найти длину перпендикуляра из точки $B$ на прямую $AD_1$.

Рассмотрим взаимное расположение прямой $AB$ и плоскости грани $ADD_1A_1$.

Поскольку $ABCD$ является квадратом (основание куба), ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AD$. То есть, $AB \perp AD$.

Поскольку $ABB_1A_1$ является квадратом (боковая грань куба), ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AA_1$. То есть, $AB \perp AA_1$.

Прямые $AD$ и $AA_1$ пересекаются в точке $A$ и задают плоскость грани $(ADD_1)$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Так как $AB \perp AD$ и $AB \perp AA_1$, то прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(ADD_1)$.

Прямая $AD_1$ лежит в плоскости $(ADD_1)$, так как соединяет две точки этой плоскости — $A$ и $D_1$.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна прямой $AD_1$.

Это означает, что отрезок $AB$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на прямую $AD_1$. Его длина и есть искомое расстояние.

По условию задачи куб единичный, следовательно, длина его ребра равна 1.

$d(B, AD_1) = AB = 1$.

Ответ: 1.