Номер 8, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В правильной шестиугольной призме ABCDEF $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $F$ до прямой $B_1 C_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер равна $1 \text{ см}$.

Сторона основания $a = 1 \text{ см}$.

Боковое ребро (высота) $h = 1 \text{ см}$.

Найти:

Расстояние от точки $F$ до прямой $B_1C_1$.

Решение:

Расстояние от точки $F$ до прямой $B_1C_1$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $F$ на прямую $B_1C_1$. Этот перпендикуляр является высотой треугольника $FB_1C_1$, проведенной из вершины $F$ к стороне $B_1C_1$. Найдем длины сторон этого треугольника.

1. Сторона $B_1C_1$ является ребром верхнего основания призмы. По условию, длина всех ребер равна 1 см. Следовательно, $B_1C_1 = 1 \text{ см}$.

2. Найдем длину отрезка $FB_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FBB_1$, где $FB$ — проекция $FB_1$ на плоскость нижнего основания, а $BB_1$ — боковое ребро. Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и $FB$. Таким образом, $\angle FBB_1 = 90^\circ$.

Длина $BB_1$ равна высоте призмы, то есть $BB_1 = 1 \text{ см}$.

Длина $FB$ — это короткая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1 \text{ см}$. Длина короткой диагонали правильного шестиугольника вычисляется по формуле $a\sqrt{3}$. Значит, $FB = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ см}$.

По теореме Пифагора для треугольника $FBB_1$:

$FB_1^2 = FB^2 + BB_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

Отсюда $FB_1 = \sqrt{4} = 2 \text{ см}$.

3. Найдем длину отрезка $FC_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FCC_1$, где $FC$ — проекция $FC_1$ на плоскость нижнего основания, а $CC_1$ — боковое ребро. Аналогично предыдущему пункту, $\angle FCC_1 = 90^\circ$.

Длина $CC_1$ равна высоте призмы, то есть $CC_1 = 1 \text{ см}$.

Длина $FC$ — это длинная диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1 \text{ см}$. Длина длинной диагонали равна $2a$. Значит, $FC = 2 \cdot 1 = 2 \text{ см}$.

По теореме Пифагора для треугольника $FCC_1$:

$FC_1^2 = FC^2 + CC_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

Отсюда $FC_1 = \sqrt{5} \text{ см}$.

4. Мы получили треугольник $FB_1C_1$ со сторонами $B_1C_1 = 1$, $FB_1 = 2$ и $FC_1 = \sqrt{5}$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора.

$(B_1C_1)^2 + (FB_1)^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

$(FC_1)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $(B_1C_1)^2 + (FB_1)^2 = (FC_1)^2$, треугольник $FB_1C_1$ является прямоугольным, причем прямой угол находится в вершине $B_1$ (так как он лежит напротив самой длинной стороны $FC_1$).

5. Поскольку $\angle FB_1C_1 = 90^\circ$, отрезок $FB_1$ является перпендикуляром к прямой $B_1C_1$, проведенным из точки $F$. Следовательно, длина этого отрезка и есть искомое расстояние.

Расстояние от точки $F$ до прямой $B_1C_1$ равно длине $FB_1$, то есть $2 \text{ см}$.

Ответ: $2 \text{ см}$.