Номер 4, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки A до прямой $B_1C_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ - правильная треугольная призма.
Длина каждого ребра $a = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Расстояние $d$ от точки $A$ до прямой $B_1C_1$.

Решение:

Искомое расстояние от точки $A$ до прямой $B_1C_1$ является длиной перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $B_1C_1$. Обозначим этот перпендикуляр как $AH$, где точка $H$ лежит на прямой $B_1C_1$. Таким образом, $d = AH$.

Для нахождения длины $AH$ рассмотрим треугольник $AB_1C_1$. Отрезок $AH$ является высотой этого треугольника, проведенной из вершины $A$ к стороне $B_1C_1$. Найдем длины сторон треугольника $AB_1C_1$.

1. Сторона $B_1C_1$ является ребром верхнего основания призмы. По условию, $B_1C_1 = a = 1$ см.

2. Сторона $AB_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Так как призма правильная, ее боковые грани — квадраты. Грань $ABB_1A_1$ — квадрат со стороной $a = 1$ см. Из прямоугольного треугольника $ABB_1$ по теореме Пифагора находим гипотенузу $AB_1$:
$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

3. Аналогично, сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани (квадрата) $ACC_1A_1$:
$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Таким образом, треугольник $AB_1C_1$ является равнобедренным, так как две его стороны равны: $AB_1 = AC_1 = \sqrt{2}$ см. Основанием является сторона $B_1C_1 = 1$ см.

В равнобедренном треугольнике высота $AH$, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $B_1C_1$ пополам.

Длина отрезка $B_1H$ составляет половину длины основания:
$B_1H = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB_1$ (угол $\angle AHB_1 = 90^\circ$). Применим к нему теорему Пифагора: $AH^2 + B_1H^2 = AB_1^2$. Выразим и вычислим катет $AH$:
$AH^2 = AB_1^2 - B_1H^2$
$AH^2 = (\sqrt{2})^2 - (0.5)^2$
$AH^2 = 2 - 0.25 = 1.75$

Представим десятичную дробь $1.75$ в виде обыкновенной: $1.75 = \frac{7}{4}$.
$AH^2 = \frac{7}{4}$

Тогда длина высоты $AH$ равна:
$AH = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$ см.