Номер 5, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $S$ до прямой $AC$.

а.

Дано:
SABCD - правильная четырехугольная пирамида
Длина всех ребер = 1 см

Перевод в СИ:
1 см = 0.01 м

Найти:
Расстояние от точки S до прямой AC - $d(S, AC)$

Решение:

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В данном случае нам нужно найти длину перпендикуляра из вершины S на прямую AC.

Рассмотрим треугольник SAC. Он образован двумя боковыми ребрами SA, SC и диагональю основания AC.По условию, все ребра пирамиды равны 1 см. Значит, боковые ребра $SA = SC = 1$ см. Следовательно, треугольник SAC является равнобедренным с основанием AC.

Основание пирамиды ABCD — это квадрат, так как пирамида правильная. Стороны квадрата равны 1 см. Диагональ AC квадрата можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABC:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$AC = \sqrt{2}$ см.

Искомое расстояние от точки S до прямой AC — это высота SH, опущенная из вершины S на основание AC в равнобедренном треугольнике SAC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что точка H делит основание AC пополам:

$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник SHC (где $\angle SHC = 90^\circ$). Гипотенуза $SC = 1$ см, катет $HC = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см. Найдем второй катет SH по теореме Пифагора:

$SC^2 = SH^2 + HC^2$

Отсюда выразим $SH^2$:

$SH^2 = SC^2 - HC^2$

$SH^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем длину SH:

$SH = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: расстояние от точки S до прямой AC равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.