Номер 7, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $F$ до прямой $BB_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная.
Все ребра равны 1 см.

Длина ребра в системе СИ: 1 см = 0.01 м.

Найти:

Расстояние от точки $F$ до прямой $BB_1$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ правильная, она является прямой призмой. Это означает, что её боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.

Согласно определению перпендикулярности прямой к плоскости, прямая $BB_1$ перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости $ABCDEF$ и проходит через точку их пересечения $B$.

Отрезок $FB$ соединяет вершины основания, следовательно, он лежит в плоскости $ABCDEF$. Так как он проходит через точку $B$, то $FB$ перпендикулярен $BB_1$. Таким образом, длина отрезка $FB$ является искомым расстоянием от точки $F$ до прямой $BB_1$.

Найдем длину отрезка $FB$. Данный отрезок является меньшей диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$, сторона которого по условию равна 1 см.

Рассмотрим треугольник $\triangle FAB$. Стороны $FA$ и $AB$ являются сторонами шестиугольника, поэтому $FA = AB = 1$ см. Угол $\angle FAB$ является внутренним углом правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Для правильного шестиугольника ($n=6$):

$\angle FAB = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle FAB$ для нахождения длины стороны $FB$:

$FB^2 = FA^2 + AB^2 - 2 \cdot FA \cdot AB \cdot \cos(\angle FAB)$

Подставим известные значения:

$FB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Учитывая, что $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$FB^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$

Следовательно, длина отрезка $FB$ составляет:

$FB = \sqrt{3}$ см.

Ответ: расстояние от точки $F$ до прямой $BB_1$ равно $\sqrt{3}$ см.