Номер 11, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны осно-вания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите расстояние от точки S до прямой BF.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ – правильная шестиугольная.
Стороны основания $a = 1$ см.
Боковые ребра $l = 2$ см.

Найти:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BF$.

Решение:

Искомое расстояние от точки $S$ до прямой $BF$ — это длина высоты $SH$, проведенной в треугольнике $SBF$ из вершины $S$ к стороне $BF$.

Сначала рассмотрим основание пирамиды — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ — его центр. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне. Следовательно, отрезки, соединяющие центр с вершинами, равны стороне основания: $OB = OF = a = 1$ см.

Рассмотрим треугольник $OBF$. Угол между двумя соседними радиусами в правильном шестиугольнике составляет $360^{\circ} / 6 = 60^{\circ}$. Угол $\angle{BOF}$ состоит из двух таких углов ($\angle{BOA}$ и $\angle{AOF}$), поэтому $\angle{BOF} = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Найдем длину диагонали $BF$ из треугольника $OBF$ по теореме косинусов:$BF^2 = OB^2 + OF^2 - 2 \cdot OB \cdot OF \cdot \cos(\angle{BOF})$$BF^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^{\circ}) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$$BF = \sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $SBF$. Нам известны длины всех его сторон: боковые ребра $SB = 2$ см и $SF = 2$ см, и основание $BF = \sqrt{3}$ см.Поскольку $SB = SF$, треугольник $SBF$ является равнобедренным.

Высота $SH$, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является также его медианой. Значит, точка $H$ делит отрезок $BF$ пополам:$BH = HF = \frac{BF}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SHB$ (угол $\angle{SHB} = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора найдем катет $SH$, который и является искомым расстоянием:$SH^2 = SB^2 - BH^2$$SH^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16 - 3}{4} = \frac{13}{4}$$SH = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{13}}{2}$ см.