Номер 16, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все рёбра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1 см.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$.

Решение:

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$ является длиной высоты $h$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD_1$ в треугольнике $ABD_1$. Для нахождения $h$ найдем длины всех сторон этого треугольника.

1. Сторона $AB$ является ребром основания призмы. По условию, $AB = 1$ см.

2. Для нахождения длины отрезка $AD_1$ сначала найдем длину большой диагонали основания $AD$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ большая диагональ равна $2a$. Таким образом, $AD = 2 \cdot 1 = 2$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$ (угол $\angle D$ прямой, так как призма прямая). Катет $DD_1$ является боковым ребром, поэтому $DD_1 = 1$ см. По теореме Пифагора:$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.Отсюда $AD_1 = \sqrt{5}$ см.

3. Для нахождения длины отрезка $BD_1$ сначала найдем длину диагонали основания $BD$. Рассмотрим треугольник $BCD$ в основании. Стороны $BC = 1$ см, $CD = 1$ см. Угол правильного шестиугольника $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $BCD$:$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.Отсюда $BD = \sqrt{3}$ см.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$ (угол $\angle D$ прямой). Катет $DD_1 = 1$ см. По теореме Пифагора:$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.Отсюда $BD_1 = 2$ см.

4. Мы имеем треугольник $ABD_1$ со сторонами $AB = 1$ см, $BD_1 = 2$ см и $AD_1 = \sqrt{5}$ см. Проверим, является ли он прямоугольным, с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора:$AB^2 + BD_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.$AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.Так как $AB^2 + BD_1^2 = AD_1^2$, то треугольник $ABD_1$ является прямоугольным, причем прямой угол находится при вершине $B$, а $AD_1$ — его гипотенуза.

5. Высота $h$, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, может быть найдена через площадь треугольника. Площадь треугольника $ABD_1$ можно вычислить двумя способами:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD_1$ (как половина произведения катетов)$S = \frac{1}{2} \cdot AD_1 \cdot h$ (как половина произведения гипотенузы на высоту)Приравнивая эти выражения, получаем:$AB \cdot BD_1 = AD_1 \cdot h$$1 \cdot 2 = \sqrt{5} \cdot h$$h = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ см.