Номер 6, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки A до плоскости $BCC_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная.

Все рёбра равны 1 см.

В системе СИ:
Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1$.

Решение:

По определению, правильная шестиугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Это означает, что боковые рёбра призмы (например, $BB_1$ и $CC_1$) перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, боковая грань $BCC_1B_1$ также перпендикулярна плоскости основания.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. Обозначим искомое расстояние как $d$.

Так как точка $A$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$, а плоскость $BCC_1$ перпендикулярна этой плоскости, то искомое расстояние от точки $A$ до плоскоosti $BCC_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BC$ в плоскости основания.

Чтобы это доказать, проведём в плоскости основания $ABCDEF$ перпендикуляр $AH$ к прямой $BC$. Так как $AH$ лежит в плоскости основания, а боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию, то $AH \perp BB_1$. Поскольку прямая $AH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$) в плоскости $BCC_1$, она перпендикулярна и самой плоскости $BCC_1$. Таким образом, длина отрезка $AH$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Длина его стороны равна 1 см. Внутренний угол правильного шестиугольника вычисляется по формуле $180^\circ(n-2)/n$, где $n=6$.

$\angle ABC = \frac{180^\circ(6-2)}{6} = \frac{180^\circ \cdot 4}{6} = 120^\circ$.

Теперь найдём длину высоты $AH$ в треугольнике $ABC$. В этом треугольнике $AB = BC = 1$ см, а угол $\angle ABC = 120^\circ$. Так как угол $\angle ABC$ тупой, основание высоты $H$, опущенной из вершины $A$ на прямую $BC$, будет лежать на продолжении стороны $BC$ за точку $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle ABH$ смежен с углом $\angle ABC$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

$\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ гипотенуза $AB = 1$ см. Катет $AH$ является искомым расстоянием. Он лежит напротив угла $\angle ABH$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH)$

Подставляя известные значения, получаем:

$AH = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.