Номер 12, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки A до плоскости $CA_1B_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Длина всех ребер $a = 1 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки A до плоскости $CA_1B_1$ (обозначим его $h$).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом объемов. Расстояние от точки A до плоскости $CA_1B_1$ равно высоте тетраэдра $ACA_1B_1$, опущенной из вершины A на основание $CA_1B_1$. Объем этого тетраэдра можно вычислить двумя способами:

1. Через смешанное произведение векторов, выходящих из одной вершины, например A: $V = \frac{1}{6} |(\vec{AC}, \vec{AA_1}, \vec{AB_1})|$.

2. Через площадь основания и высоту: $V = \frac{1}{3} S_{CA_1B_1} \cdot h$.

Приравняв эти выражения, можно найти высоту $h$. Для вычислений введем прямоугольную систему координат. Расчеты будем вести в сантиметрах.

1. Введение системы координат и определение координат вершин.

Поместим начало координат в точку A. Ось Ox направим вдоль ребра AB, а ось Oz — вдоль ребра $AA_1$. Тогда основание ABC лежит в плоскости Oxy.

Координаты вершин:
- $A(0, 0, 0)$.
- $B(1, 0, 0)$, так как $|AB| = 1$.
- Треугольник ABC равносторонний, $\angle CAB = 60^\circ$. Координаты C: $x_C = |AC|\cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, $y_C = |AC|\sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $C(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
- Высота призмы равна 1, значит $A_1(0, 0, 1)$ и $B_1(1, 0, 1)$.

2. Вычисление объема тетраэдра $ACA_1B_1$.

Найдем векторы, исходящие из вершины A к другим вершинам тетраэдра:
$\vec{AC} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$\vec{AA_1} = (0, 0, 1)$
$\vec{AB_1} = (1, 0, 1)$

Объем тетраэдра равен $1/6$ модуля смешанного произведения этих векторов, которое вычисляется как определитель:
$V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{6} \left| \frac{1}{2}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \frac{\sqrt{3}}{2}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 0(0 \cdot 0 - 0 \cdot 1) \right|$

$V = \frac{1}{6} \left| -\frac{\sqrt{3}}{2}(-1) \right| = \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{12} \text{ см}^3$.

3. Вычисление площади основания $S_{CA_1B_1}$.

Найдем длины сторон треугольника $CA_1B_1$, используя координаты его вершин $C(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $A_1(0, 0, 1)$, $B_1(1, 0, 1)$.
$|CA_1|^2 = (0 - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1 - 0)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 = 2 \implies |CA_1| = \sqrt{2} \text{ см}$.
$|CB_1|^2 = (1 - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1 - 0)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 = 2 \implies |CB_1| = \sqrt{2} \text{ см}$.
$|A_1B_1|$ — это ребро верхнего основания, его длина $|A_1B_1|=1 \text{ см}$.

Треугольник $CA_1B_1$ является равнобедренным. Найдем его площадь. Проведем высоту $h_C$ из вершины C к основанию $A_1B_1$. По теореме Пифагора:
$h_C^2 = |CA_1|^2 - \left(\frac{|A_1B_1|}{2}\right)^2 = (\sqrt{2})^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.
$h_C = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} \text{ см}$.

Площадь треугольника $CA_1B_1$:
$S_{CA_1B_1} = \frac{1}{2} \cdot |A_1B_1| \cdot h_C = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4} \text{ см}^2$.

4. Нахождение расстояния $h$.

Теперь, зная объем тетраэдра и площадь его основания, найдем высоту $h$, которая и является искомым расстоянием:
$h = \frac{3V}{S_{CA_1B_1}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{12}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$h = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7} \text{ см}$.

Ответ:$\frac{\sqrt{21}}{7} \text{ см}$.