Номер 13, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SCD$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки A до плоскости SCD, обозначим его как $\rho(A, (SCD))$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до плоскости воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр ASCD. Его объем $V_{ASCD}$ можно выразить двумя способами.

1. С одной стороны, если принять грань SCD за основание, а точку A за вершину, то объем тетраэдра равен:

$V_{ASCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{SCD} \cdot \rho(A, (SCD))$

Отсюда искомое расстояние равно:

$\rho(A, (SCD)) = \frac{3 \cdot V_{ASCD}}{S_{SCD}}$

2. С другой стороны, тот же объем можно вычислить, приняв за основание грань ACD, а за вершину – точку S. Тогда высота тетраэдра будет совпадать с высотой SO всей пирамиды SABCD, где O – центр квадрата в основании.

$V_{ASCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ACD} \cdot SO$

Найдем все необходимые величины, выражая их через длину ребра $a=1$ см.

Площадь грани SCD. Так как все ребра пирамиды равны, то грань SCD является равносторонним треугольником со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{SCD} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$.

Теперь найдем объем тетраэдра $V_{ASCD}$ вторым способом.

Основание пирамиды ABCD – квадрат со стороной $a$. Треугольник ACD – это прямоугольный треугольник, который является половиной квадрата. Его площадь:

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} \text{ см}^2$.

Найдем высоту пирамиды SO. O – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC. Катет OC – это половина диагонали квадрата AC. Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см. Тогда $OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см. Гипотенуза SC – это боковое ребро, $SC = a = 1$ см. По теореме Пифагора:

$SO^2 = SC^2 - OC^2 = 1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь можем вычислить объем тетраэдра ASCD:

$V_{ASCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ACD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12} \text{ см}^3$.

Наконец, подставим найденные значения в формулу для искомого расстояния:

$\rho(A, (SCD)) = \frac{3 \cdot V_{ASCD}}{S_{SCD}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{12}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: Расстояние от точки A до плоскости SCD равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$ см.