Номер 9, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки A до плоскости $CB_1 D_1$.

10. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки A

Дано:
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный куб.
Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:
Расстояние от точки A до плоскости $(CB_1D_1)$.

Решение:
Для решения задачи применим координатный метод. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$, направив оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно.

В данной системе координат найдем координаты необходимых точек:

• Точка $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат, следовательно, ее координаты $A(1, 0, 0)$.
• Точка $C$ лежит на оси $Oy$ на расстоянии 1 от начала координат, ее координаты $C(0, 1, 0)$.
• Точка $D_1$ лежит на оси $Oz$ на расстоянии 1 от начала координат, ее координаты $D_1(0, 0, 1)$.
• Координаты точки $B_1$ равны $(1, 1, 1)$.

Плоскость проходит через точки $C(0, 1, 0)$, $B_1(1, 1, 1)$ и $D_1(0, 0, 1)$. Составим уравнение этой плоскости вида $ax + by + cz + d = 0$.
Для этого найдем два вектора, лежащих в плоскости: $\vec{CB_1} = (1-0, 1-1, 1-0) = (1, 0, 1)$.
$\vec{CD_1} = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:
$\vec{n} = \vec{CB_1} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) = 1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k}$.
Координаты вектора нормали: $\vec{n} = (1, -1, -1)$.

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид $1 \cdot x - 1 \cdot y - 1 \cdot z + d = 0$, или $x - y - z + d = 0$.
Чтобы найти коэффициент $d$, подставим в уравнение координаты любой точки плоскости, например, $C(0, 1, 0)$:
$0 - 1 - 0 + d = 0 \Rightarrow d = 1$.
Уравнение плоскости $(CB_1D_1)$: $x - y - z + 1 = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до плоскости $x - y - z + 1 = 0$ по формуле расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax+by+cz+d=0$:
$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
Подставляем наши значения:
$\rho = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 + 0 + 0 + 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\rho = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{